Fracciones y porcentaje

¿Qué es una fracción?

Para responder la pregunta ¿qué es una fracción? Es necesario definir antes que se entiende por unidad. Entendemos por unidad a un objeto, un número, un pastel, una longitud, cierta cantidad de dinero y en general cualquier cosa que represente el todo de una situación, por ejemplo, Si tenemos una situación donde Mangüirry tiene un terreno de 1600 m² que está dividido en dos sembraderos iguales de papa y yuca; el terreno total (1600m²) representa la unidad; y las parcelas donde se han sembrado la papa y la yuca las respectivas fracciones que la componen. En este orden de ideas, una fracción es una parte o una porción de la unidad, en el caso expuesto anteriormente, cada parcela representa una fracción del terreno total de Mangüirry, exactamente la mitad, una de dos partes o 1/2 :

Un aspecto tan importante como el anterior, es tener en cuenta que 2/2, 10/10, 5/5, entre otros, no representan una fracción, pues en cada caso hemos dividido la unidad en cierto número de partes y tomado el mismo número, es decir, hemos tomado todas las particiones o la unidad completa. Además de lo anterior, es importante considerar que las fracciones siempre serán positivas.

Una vez tenemos clara la noción de unidad y su representación matemática, vale la pena avanzar hacia la representación gráfica mediante tortas rectangulares y usando la recta numérica.

Representación gráfica de una fracción.

Como se pudo apreciar líneas atrás, una fracción puede representarse de múltiples formas, la condición es dividirla en porciones del mismo tamaño, lo que en ocasiones puede ser complicado cuando las figuras que representan la unidad son circunferencias, pentágonos, triángulos u otras figuras que pueden ser regulares o irregulares; por facilidad generalmente se utilizan tortas rectangulares, pues es muy sencillo dividir una figura como esta en partes iguales tal y como se puede apreciar en la "imagen 1". Las fracciones pueden representarse también en la recta numérica, en este caso asumiremos como unidad el valor que hay entre dos números consecutivos tal y como se aprecia en la "imagen 2":

Actividad #1

● De la representación gráfica a la representación formal.

1. A continuación encontrarás una serie de actividades donde podrás practicar el cambio de representación gráfica a la representación formal o matemática de una fracción.

Actividad #2

● De la representación formal a la representación gráfica.

1. A continuación encontrarás una serie de actividades donde podrás practicar el cambio de representación formal o matemática a la representación grafica de una fracción.

El paso siguiente será pensar la adición y sustracción entre fracciones, para ello te invito a leer y observar los videos que proponemos para construir el algoritmo de dichas operaciones básicas.

Suma de fracciones

Para sumar dos o más fracciones, recordemos primero que la suma y la resta son operaciones que sirven para totalizar cantidades que comparten la misma naturaleza o tienen una característica en común. En este orden de ideas, es posible conocer la cantidad de tomates que hay en la siguiente imagen, pues, aunque difieren en su tamaño, comparten la naturaleza de ser tomates, por consiguiente, podemos afirmar que hay seis tomates en total sin considerar los respectivos tamaños.

De igual modo podemos totalizar el siguiente conjunto de objetos utilizando la naturaleza de "objetos", por lo tanto, hay tres objetos.

Sin embargo, si tuviéramos que conservar las características individuales y totalizar la cantidad de objetos que se aprecian en la imagen anterior, no sería posible, pues evidentemente los objetos son diferentes y solo podemos mencionar las características de cada uno sin llegar a dar una cifra que represente el total, por consiguiente, solo es posible sumar cosas u objetos que comparten la misma naturaleza o tienen una característica en común. En este sentido, si tuviéramos que totalizar la superficie que cubre el siguiente par de figuras:

Tendríamos que elegir el área como una de las características comunes y buscar una fracción o patrón de medida que esté contenida exactamente en la superficie de ambas figuras, en este caso podemos tomar la figura 2 como el patrón para cuantificar la superficie de las respectivas figuras, pues en la siguiente imagen puede apreciarse que la "figura 1" cabe un número de veces exacto en cada una; en la primera cabe cuatro veces y en la segunda una vez. En este orden de ideas, definiremos por conveniencia que la "figura 1" representa la unidad, y por consiguiente la "figura 2" representa una fracción de la unidad, exactamente una parte de cuatro o 1/4, de este modo, la figura uno representa cuatro partes de cuatro, o cuatro cuartos, por lo tanto, al sumar las respectivas superficies tendriamos un total de cinco cuartos o 5/4.

Como conclusión, al sumar dos o más fracciones diferentes, debemos encontrar una fracción o patrón que esté contenido en ambas, de tal modo que al final tengamos particiones equivalentes que podamos sumar. Para estudiar con más detalle la lógica expuesta líneas atrás para sumar o restar fracciones, te invito a observar el siguiente video:

Considerando las condiciones mencionadas líneas atrás, podríamos afirmar que el patrón o la partición que conviene utilizar para sumar o restar dos o más fracciones, es aquella que represente la porción más pequeña, pues es más viable que esta porción esté contenida un número de veces exacto en las fracciones a totalizar que cualquier otro caso. En este orden de ideas, se propone dividir cada una de las fracciones que componen la suma o la resta, en términos de la fracción que tiene el mayor denominador. Vale la pena aclarar que esta estrategia no siempre será viable, sin embargo, será un punto de partida en el proceso de enseñanza-aprendizaje para construir el algoritmo estándar. Para comprender y practicar el procedimiento anterior, te invitamos a ver el siguiente video:

Considerando las limitaciones que tiene la estrategia anterior, se le recomienda al maestro proponer un ejercicio donde dicha estrategia no sea útil, y genere un conflicto cognitivo que evoque en los estudiantes la necesidad de buscar una estrategia más eficiente. En este sentido y con el propósito de avanzar hacia la construcción del algoritmo estándar, el maestro puede formular preguntas sobre la relación existente entre el denominador más grande y el resto de los denominadores, al hacerlo, los estudiantes notarán que el denominador más grande es un múltiplo de los otros, y en algunos casos es el mínimo común múltiplo. Una vez los estudiantes construyen el algoritmo estándar, el siguiente video puede servir como insumo didáctico para que los estudiantes afiancen lo aprendido.

Para practicar lo aprendido hasta el momento sobre la adición y sustracción de fracciones, te invitamos a resolver las siguientes actividades:

Actividad #1

1. Analiza cada uno de los siguientes puntos y escribe la fracción que representa la superficie que resulta al unir las respectivas figuras:

Sugerencia: Recuerda que, para totalizar la superficie, debes elegir una figura que represente la unidad y otra que sea el patrón. De esta manera podrás usar el patrón para conocer el número de veces que cabe en cada una de las figuras, y finalmente sumar estos resultados para determinar la superficie total.

2. Realiza los siguientes test y practica la suma de fracciones resolviendo ejercicios similares al anterior.

3. Practica la suma y resta de fracciones aplicando el mínimo común múltiplo o también llamado M.C.M.

Multiplicación de fracciones

Iniciemos recordando el enfoque que usaremos para concebir la multiplicación entre dos cantidades, el cual consiste en utilizar la palabra veces para representar la multiplicación o una relación constante entre dos clases o universos diferentes, tal y como propone Fernández en la siguiente cita:

"Veces es un concepto que debe intelectualizarse a partir de dos universos o clases de elementos y una relación constante. Así, por ejemplo: vagones y pasajeros, sobres y cromos, libros y páginas; la igualdad del número de pasajeros, cromos y páginas en cada vagón, sobre o libro, respectivamente, representaría la relación constante". Fernández (2007).

En la cita anterior es posible apreciar que la multiplicación puede involucrar dos categorías diferentes manteniendo una relación constante entre ellas, por ejemplo, es posible construir una relación entre un vagón y el número de tripulantes, un libro y el número de páginas, entre otras relaciones más. Sí definimos que en el primer ejemplo cada vagón tiene una capacidad para transportar 20 pasajeros, podemos afirmar que tener ocho vagones implica ocho veces veinte pasajeros, y en el segundo ejemplo, podemos definir que tenemos un libro de 500 páginas, por consiguiente si tenemos 20 de ellos, en total tendríamos 20 veces 500 páginas. En cada uno de las situaciones mencionadas anteriormente, podemos notar que existe una relación constante entre dos clases diferentes, en el primer caso tenemos 20 pasajeros por cada vagón, y en el segundo 500 páginas por cada libro. Otro ejemplo sería relacionar un auto y el respectivo número de llantas, noten que por cada automóvil se tienen cuatro llantas, por lo tanto, tener dos veces la cantidad de automóviles, implica dos veces la cantidad de llantas que se requieren para uno de ellos, es decir, tendríamos ocho llantas en total para los dos autos, evidenciando de esta manera una relación constante entre las clases: autos y llantas Fernández (2007). .

Considerando lo expuesto anteriormente, tratemos de verbalizar y resolver la siguiente situación acudiendo al enfoque anteriormente mencionado y la relación parte todo para concebir el concepto de fracción.

Mangüirry tiene una parcela de 15 hectáreas y desea saber cuánto terreno representa una donación equivalente a "1/5" de veces su terreno.

Empecemos diciendo que el enunciado anterior relaciona solo una categoría que lleva el nombre de hectáreas, e interesa calcular "1/5" de veces el terreno que tiene Mangüirry. Siguiendo la lógica expuesta anteriormente para comprender la multiplicación, y usando el concepto de fracción como una relación parte todo, a continuación escribiremos a través de viñetas las diferentes representaciones que puede tener 1/5 veces 15 hectáreas.

● En esta primera aproximación nos limitaremos a escribir el enunciado literalmente:1/5 veces el terreno de Mangüirry

● Considerando la relación parte todo utilizada para construir el concepto de fracción, podemos afirmar que 1/5 es una fracción de una unidad, la cual está representada en este caso por la cantidad de hectáreas que tiene Mangüirry, por consiguiente, podríamos decir que "1/5" veces el terreno de Mangüirry puede verse como 1/5 del terreno de Mangüirry

● Otra manera de representar dicho producto, sería explicitar la cantidad de veces que se repite "1/5" de veces la unidad en todo el enunciado, justamente de la siguiente manera: Un vez 1/5 de 15 hectáreas.

Solución del problema

Considerando que el propósito de esta disertación es comprender la multiplicación de fracciones y construir el respectivo algoritmo, iniciaremos resolviendo el producto apelando al concepto de multiplicación y al concepto de fracción como parte todo, tal y como se mencionó líneas atrás. En este orden de ideas, representaremos gráficamente la situación planteada en la tercera viñeta, empezando de derecha a izquierda. De este modo representaremos primero a 1/5 de la unidad, y posteriormente tomaremos el número de veces que dicha porción se repite.

Como puede apreciarse en la imagen anterior, se ha dividido la unidad en cinco partes, de tal manera que cada una representa 3 hectáreas "3ha". Siguiendo el orden establecido de derecha a izquierda en la solución del enunciado, una vez tenemos la cantidad de hectáreas que representa 1/5 de la unidad, proseguimos con el enunciado que determina la cantidad de veces que tomaremos a 1/5 de 15ha o 3ha de acuerdo con lo expuesto en la gráfica anterior. En el enunciado :" Un vez 1/5 de 15 hectáreas", tenemos que "1/5" se repite "una vez", por consiguiente "3ha" representa el terreno que donaría Mangüirry.

Teniendo en cuenta que la palabra veces puede representarse con el signo por "x", "1/5 veces 15 ha" puede representarse como:

Cuyo resultado es "3ha" de acuerdo con lo expuesto anteriormente, por consiguiente :

Considerando que todo problema tiene una respuesta, en este caso sería : Mangüirry donaría "3ha" de "15ha" que constituyen su terreno.

Un ejercicio interesante podría ser invertir el orden de los factores y estudiar el cumplimiento de la propiedad conmutativa:

Prerrequisitos para llevar a cabo la propuesta anterior:

• Los estudiantes deben estar en capacidad de resolver divisiones inexactas.
• Comprender que la unidad también puede representarse con el número "1"

La operación anterior podemos representarla como: 15 veces 1/5 de la unidad , en cuyo caso es necesario recordar que la unidad "15ha" también puede representarse con el número "1", de modo que al resolver el enunciado de derecha a izquierda, tenemos que "1/5" de la unidad "1" es equivalente a 0.2, y 15 veces 0.2 es equivalente a 3ha, un valor equivalente al resultado anterior, donde tenemos un resultado que sugiere el cumplimiento de la propiedad conmutativa en la multiplicación de fracciones.

¿Qué es el porcentaje?

Podemos definir el porcentaje como el resultado de dividir la unidad en cien partes iguales y tomar una porción, tal y como se puede apreciar en la imagen 1.

En este sentido, tener el 50% de la unidad, significa tener cincuenta partes de los cien totales, por tanto, si la unidad está representando un valor como cien mil pesos, para calcular el respectivo porcentaje, es necesario dividir este valor entre cien y luego multiplicarlo por cincuenta (100000/100)*50 = 50%de 100000 = 50%(100000). De este modo sabremos qué 50000 pesos representa el 50% de 100000 pesos.

Para profundizar más en la noción de porcentaje, te invitamos a ver el siguiente video:

Actividad #1

1. Realiza los siguientes test y practica la resolución de problemas aplicando el concepto de porcentaje:

2. A hora revisemos la situación de Mangüirry y analicemos ambos descuentos:

Considerando que las lombrices y el abono cuestan lo mismo. ¿Qué comeré hoy a mejor precio?

Teniendo en cuenta que las lombrices y el abono cuestan lo mismo, llamemos "C" al costo de cada uno.

Segundo descuento

20%(C)= (C/100)20. De acuerdo a lo anterior, el 20%(C) es equivalente a dividir «C» en cien partes y tomar veinte de estas.

Primer descuento

20% del 20% de «C»= 20%[20%(C)] = 20{[20(C/100)] /100}. Lo anterior es equivalente a dividir cada una de las partes del primer caso entre cien, y luego tomar veinte de estas. Como pueden darse cuenta, en este caso las particiones son más pequeñas y del orden de las diezmilésimas. Por tanto, el descuento es mucho menor.

Para hacerlo un poco más claro, supongan que «C» es igual a 10000 pesos. Esto significa que el 20% de 10000 pesos es igual a 2000 pesos, valor que representa el primer descuento.

Ahora apliquemos el segundo descuento, teniendo en cuenta que "C" se divide entre diez mil y tomamos veinte partes. En este orden de ideas la operación sería: 10000/10000 = 1, al tomar veinte de las partes, el descuento sería de 20 pesos. No te dejes engañar y déjate invadir por la ciencia.

Actividad #1

Realiza los siguientes test y practica la representación matemática del porcentaje.

Actividad #2

Resuelve el siguiente test y practica lo aprendido sobre fracciones, sus operaciones y el concepto de porcentaje.

De fracción a porcentaje

¿Te has preguntado cómo pasar una fracción a porcentaje? te invitamos a ver el siguiente video para conocer la respuesta:

Actividad #1

Realiza los siguientes test y practica la conversión de fracción a porcentaje

Números decimales

Las fracciones pueden representarse como números decimales, los cuales están compuestos, por una parte entera y una decimal. En relación con las fracciones impropias que son mayores que la unidad, podemos decir que la parte entera representa el número de unidades que se han tomado, y la parte decimal, la fracción o porción tomada de la unidad. En lo que respecta a las fracciones propias, podemos afirmar que la parte entera de un número decimal siempre estará representada por el cero, en consideración que este tipo de fracciones siempre son menores que la unidad, por lo tanto, la parte decimal representa la fracción o porción que se ha tomado de la unidad. En la siguiente imagen se puede apreciar la parte entera, la parte decimal y el orden posicional de los números que componen al decimal 123.4926.

Los números decimales pueden ser :

Decimales periódicos puros: Son aquellos números decimales cuya parte decimal tiene un comportamiento repetitivo o periódico que inicia después del punto decimal. La forma correcta de representar este tipo de números decimales, es escribir una comilla en la parte superior del número o los números que se repiten, tal y como se aprecia a continuación:

Decimales periódicos mixtos: Son aquellos números decimales cuya parte decimal tiene un comportamiento repetitivo o periódico que no inicia después del punto decimal. La forma correcta de representar este tipo de números decimales, es escribir una comilla en la parte superior del número o los números que se repiten, tal y como se aprecia a continuación:

Decimales infinitos no periódicos: Son aquellos números décimales cuya parte decimal carece de un patrón, por ejemplo, la raíz cuadrada de dos:

Decimales exactos: Son aquellos números decimales cuya parte décimal es finita, por ejemplo :

Adición de números decimales

Para sumar números decimales debemos procurar que el valor posicional de los dígitos coincida entre sí. Una forma de orientarnos es ubicar los puntos decimales uno debajo del otro, justamente como se puede apreciar a continuación:

Actividad #1

Resuelva el siguiente taller y practique la suma de números decimales.

Probabilidad simple

Un evento es un suceso de todos aquellos que pueden ocurrir al llevarse a cabo un hecho, por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras, los eventos posibles pueden ser el "1", "2, "3, "4", "5" o el "6". En este orden de ideas el conjunto que contiene todos los eventos posibles recibe el nombre de espacio muestral.

Podemos usar lo aprendido hasta el momento sobre fracciones para comprender el concepto de probabilidad simple. En este orden de ideas, la unidad o nuestro todo recibirá el nombre de espacio muestral; un conjunto que contiene todos los casos posibles que pueden darse al revisar la ocurrencia de un evento, por ejemplo, al calcular la probabilidad de obtener el número "2" al lanzar un dado de seis caras, tenemos el siguiente conjunto de eventos posibles o espacio muestral:

Al revisar el número de eventos posibles, podemos identificar que solo hay uno favorable y es precisamente el número "2", de modo que de nuestro espacio muestral o unidad tomaremos solo un valor "2", dicho de otro modo tendremos:

Por tanto la probabilidad es equivalente a:

Actividad #1

Realice los siguientes test sobre probabilidad simple

Actividad #2

Realice los siguientes test y practique lo aprendido sobre la aplicación de fracciones en situaciones cotidianas, la representación de una fracción en porcentaje y el calculo de la probabilidad simple.