Números enteros

El conjunto de los números enteros suele figurar con la letra "Z", y puede representarse también por extensión, comprensión, utilizando diagrmas de Venn y en la recta numérica.

Extensión:

Se listan los elemento que pertenecen al conjunto de los enteros.

Comprensión:

Se basa en escribir las propiedades que cumplen los miembros del conjunto.

Diagramas de Venn:

Recta numérica:

La recta numérica es una herramienta gráfica esencial para visualizar el conjunto de los números enteros. Esta establece un orden lineal en el que el cero funciona como punto de división. A la derecha del cero, se ubican los números naturales o enteros positivos, mientras que a la izquierda se representan los enteros negativos. De esta forma, la recta numérica proporciona una clara comprensión del orden y la relación entre estos números.

Orden en los números enteros

Adicionalmente a las propidades algebraicas estudiadas en el conjunto de los números naturales, existen otras que reciben el nombre de propiedades de orden, tales como:

Ley de tricotomía: Esta ley determina que cualquier número entero puede cumplir una de las tres condiciones: Ser positivo, negativo o cero.

Estabilidad de R+: Esta ley determina que la suma y el producto entre dos números positivos, siempre será positivo.

Para determinar las relaciones de orden entre los números enteros, se utiliza la siguiente simbología:

• a > b , se lee "a" mayor que "b"
• a < b , se lee "a" menor que "b"
• a = b , se lee "a" igual que "b"

Una aspecto tan importante como el anterior, es considerar que:

• Los números que están a la derecha del cero son mayores que aquellos que están a su izquierda.
• Los números que están a la izquierda de un número negativo, siempre serán menores que aquellos que se ubican a su derecha.

Definición de valor absoluto

El valor absoluto de un número entero "a" representa la distancia que separa dicho valor del cero, por esta razón el valor absoluto de "a" siempre será positivo.

Para comprender mejor la definición antyerior, revisemos los siguientes ejemplos:

• | 2 |= 2
• | -29 |= 29

Propiedades del valor absoluto

• El valor absoluto de un número diferentes de cero siempre es positivo. (Si a ≠ 0, | a | > 0)
• El valor absoluto de cero siempre es igual a cero. (Si a = 0, | 0 | = 0)
• El valor absoluto de un número negativo será igual al valor absoluto de su opuesto aditivo. ( | a | = | -a | )
• El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos. ( | ac | = | a |.| c | )
• El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos. ( | a/c | = | a | / | c |)

Actividad N°1

Instrucciones:

1. Armar grupos de tres estudiantes.
2. Se le pide a cada grupo elegir un número del 1 al 6, luego se lanza un dado y el número que salga determinará el grupo que inicia.
3. El grupo que inicia destapa dos casillas y en caso de formar una pareja de expresiones equivalentes se le asignará un punto. 4. El grupo que acumule la mayor cantidad de puntos gana.

Actividad N°2

Ingresa al siguiente recurso y forma parejas de expresiones equivalentes usando el concepto de valor absoluto y sus propiedades.

Operaciones básicas entre números enteros

Adición y sustracción

En la suma de números enteros, es crucial tener en cuenta tanto el valor absoluto como el signo de cada sumando, ya que el resultado adopta el signo de la cantidad con el mayor valor absoluto. Por lo tanto, al sumar 9 + (- 12), es igual a "-3". Esto implica que hay una diferencia de tres unidades entre el "9" y el "-12", y el signo negativo se debe al hecho que el valor absoluto de "-12" es mayor que el valor absoluto de "9".

9 + (- 12) = -3

Es posible representar en la recta numérica la adición entre dos o más números enteros. El procedimiento consiste en ubicar cualquiera de los sumandos en la recta numérica, luego desplazarse hacia la deracha si el entero es positivo y hacia la izquierda si es negativo. De este modo, el resultado será equivalente al número que representa la última ubicación.

Por ejemplo, para sumar 7 + (-9) seleccionamos al "7" como punto de partida, y desde allí nos desplazamos nueve unidades hacia la izquierda, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

Por consiguiente 7 + (-9) =-2.

La estrategia anterior puede utilizarse para sumar dos o más terminos, como es el caso del siguiente polinomio aritmético: 2 + (-6) + (-2) + 3. Para resolver este ejercicio, seguiremos los mismos pasos menicionados anteriormente. Primero elegimos uno de los sumandos como punto de partida y luego nos desplazamos a la derecha o izquierda según los signos de cada termino. En este caso elegiremos como punto de partida el "-6", luego nos moveremos a la derecha dos unidades "2", seguimos moviendonos a la derecha tres unidades "3" y finalmente a la izquierda dos unidades "-2", ubicandonos en el "-3". Por consiguiente 2 + (-6) + (-2) + 3 = -3, tal y como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

Antes de continuar con la multiplicación y división de números enteros, es necesario estudiar las siguientes propiedades:

(-1)b = -b ----------------------------------------⤍ (-1)7 = -7
-(-b) = b ----------------------------------------⤍ -(-8) = 8
(-b)c = (-c)b = -(bc) ----------------------------------------⤍ (-8)2 = (-2)8 = -(8.2)
(-b)(-c) = bc ----------------------------------------⤍ (-8)(-7) = 8.7
-(b + c) = -b - c ---------------------------------------⤍ -(4 + 2) = -4 - 2
-(b - c) = c - b ---------------------------------------⤍ -(4 - 3) = 3 - 4

Multiplicación

En la multiplicación de números enteros debemos tener en cuenta las propiedades anteriormente mencionadas, las cuales pueden sintetizarse en el siguiente par de enunciados:

• Al multiplicar dos números enteros con igual signo, el resultado será positivo.
• Al multiplicar dos números enteros con diferente signo, el resultado será negativo.

Por ejemplo:

Factores con igual signo:

•(-3)(-9) = 27
•(3)(9) = 27

Factores con diferente signo:

•(3)(-9) = -27
•(-3)(9) = -27

División

En la división de números enteros podemos aplicar un razonamiento análogo a los dos enunciados mencionados en la multiplicación. En este caso quedarían así:
• Al dividir dos números enteros con igual signo, el resultado será positivo.
• Al dividir dos números enteros con diferente signo, el resultado será negativo.

Por ejemplo:

Con igual signo:

•(-8)÷(-2) = 4
•(8)÷(2) = 4

Con diferente signo:

•(8)(-2) = -4
•(-8)(2) = -27

Orden en las operaciones

Una manera de recordar el orden correcto para simplificar un polinomio aritmético que contiene signos de agrupación; es utilizar el acrónimo PEMDAS.

Paréntesis
Exponentes
Multiplicaciones
Divisiones
Adiciones
Sustracciones

En este orden de ideas, se inician resolviendo de izquierda a derecha las operaciones contenidas en los parétesis, luego siguen los exponentes, después las multiplicaciones o divisiones; lo primero que se encuentre de izquierda a derecha, y finalmente se resuelven las sumas y restas.

Actividad N°1

1. Cuando ingrese a cada recurso, por favor tener en cuenta:

• Escribir en el cuaderno cada ejercicio.
• Escribir en el cuaderno el procedimiento de solución teniendo en cuenta los parametros establecidos en clase.
• Diligenciar el campo de la aplicación con el resultado obtenido en el paso anterior y verificar la respuesta.

2. Juegue concéntrece con polinomios aritméticos

Factorización de números enteros

Factorizar un número entero significa expresarlo como un producto de números más pequeños. Por ejemplo, el número 10 se puede factorizar como 2 x 5. En este caso, 2 y 5 son factores de 10. Del mismo modo puede factorizarse el número 100 como 20x5, donde 20 y 5 son factores de 100.

Al revisar el segundo ejemplo, puede notarse que la factorización no está compuesta en su totalidad por números primos, por lo tanto, es posible seguir descomponiendo aquellos números compuestos. En este orden de ideas, se factorizará el número 20 como 5x4, donde el número 4 se factoriza nuevamente como 2x2, obteniendo que la factorización prima del número 100 es equivalente a 5x2x2x5.

La factorización prima es un procedimiento muy utilizado en la simplificación de expresiones aritméticas como son : los cocientes y la radicación.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo, representa el mínimo de los múltiplos comunes de dos o más números enteros. Para ejemplificar la afirmación anterior, encontremos los múltiplos de 2, 3 y 4.

Al revisar el resultado anterior puede apreciarse que 12 y 24 son múltiplos comunes, y el 12 es el mínimo común múltiplo.

Un aspecto tan importante como el anterior, es resaltar que no es posible encontrar el máximo común múltiplo entre dos o más números enteros, pues cada uno cuenta con una lista infinita ejemplares, cuyos valores van creciendo y que por ende imposibilitan encontrar el múltiplo de mayor valor.

Máximo común divisor

El máximo común divisor, representa el divisor común y de mayor valor entre dos o más números enteros. Para ejemplificar la afirmación anterior, encontremos los divisores de 12 y 24

Como se puede apreciar en el resultado anterior, los divisores comunes entre 12 y 24 son {2, 3, 4, 6, 12}, donde 12 es el máximo común divisor.