Propiedades en las operaciones básicas

Propiedad clausurativa en la suma- ejemplos

Antes entrar en materia y explicar la propiedad clausurativa, definamos un conjunto numérico y una operación. Tengamos en cuenta que las operaciones cobran sentido en el marco de un conjunto numérico que provee los elementos para operar entre ellos, la cual es una condición necesaria para estudiar posteriormente las propiedades que cumple dicha operación. En este orden de ideas, definamos el siguiente conjunto finito :

y la adición (+) como la operación entre los elementos del conjunto «A». A continuación operemos algunos elementos:

Como podemos apreciar, las sumas resultantes están contenidas en el conjunto «A», resultado que podríamos usar para concluir que la adición cumple la propiedad clausurativa, sin embargo, las adiciones planteadas no representan todas las combinaciones posibles para establecer una propiedad, veamos:

Efectivamente, las sumas 10, 9, 6, 8, 7, entre otros, no pertenecen al conjunto «A», razón por la cual la adición no cumple la propiedad Clausurativa. Un resultado puede considerarse como una ley cuando se presenta en todos los casos y no hay excepciones.

Si deseas observar otro ejemplo, te invitamos a observar el siguiente video:

Actividad #1

Resuelve las siguientes actividades y practica lo aprendido sobre la propiedad clausurativa

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Por aquí dejamos dos preguntas que te ayudarán a evaluar lo aprendido sobre la propiedad clausurativa: Responde la siguiente pregunta considerando la información suministrada en la siguiente imagen:

1. Si consideramos la acción de mezaclar como una operación podemos afirmar la operación mezcla es

2. Completa el enunciado de la siguiente imagen:

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Pregunta 1 - Pregunta 2

Propiedad clausurativa en la resta- ejemplos

Para evaluar el cumplimiento de la propiedad clausurativa en la resta, mantengamos el conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } y realicemos algunas operaciones:

Después de realizar algunos cálculos entre los elementos del conjunto "B", notamos que existen casos donde la diferencia está representada con la frase "Math error", una frase que suele aparecer en la calculadora para comunicar que la operación efectuada no tiene solución en el conjunto programado. En consecuencia, la resta no cumple la propiedad clausurativa en el conjunto "B", pues la diferencia de "3 - 6" es "-3", un valor que no se encuentra en "B", tal y como sucede con "2 – 4" que es "-2" y "4 – 5" que es -1.

Propiedad clausurativa en la multiplicación- ejemplos

Siguiendo la misma lógica anterior, utilicemos nuevamente al conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } y veamos si la multiplicación es clausurativa en dicho conjunto:

De acuerdo al resultado anterior, podemos afirmar que la multiplicación no cumple la propiedad clausurativa en el conjunto "B", pues el producto : 5*6 no pertenece a "B".

Para invalidar el cumplimiento de una propiedad, es suficiente encontrar un caso o contra ejemplo que evidencie el incumplimiento de la misma, pues una propiedad, es una recurrencia que se cumple en todos los casos.

Propiedad clausurativa en la división- ejemplos

Considerando a "B" como nuestro conjunto y la división (÷) como la operación, tenemos que

De acuerdo al resultado anterior, la división no cumple la propiedad clausurativa en «B». «1/2 =0.5», un número que no está en "B" y hace parte del conjunto de los racionales.

Propiedad conmutativa y modulativa - ejemplos

Considerando la lógica antes mencionada definiremos como conjunto a :

y la resta como la operación entre los elementos de "B"; luego elegiremos arbitrariamente un elemento del conjunto "B" y lo operaremos con todos los elementos restantes, si este elemento es el módulo de la resta, notaremos que al operarlo con cualquier otro elemento el resultado será equivalente al elemento escogido, veamos:

Suponiendo que "0" es el elemento que escogimos arbitrariamente, operemos este valor con el resto de elementos de "B":

Al revisar las operaciones anteriores, pareciera que el módulo de la resta es el "0", pues en todos los casos la diferencia es equivalente al número que operamos con él. Antes de apresurarnos a sacar una clonclusión, tengamos en cuenta que dicho resultado debe mantenerse igual sin importar el orden en que operemos los respectivos elementos , en consecuencia que la operación estudiada debe cumplir en primera instancia la propiedad conmutativa. En este orden de ideas, recordemos que la propiedad conmutativa garantiza que el resultado de una operación no dependa del orden de los elementos operados, es decir, la diferencia entre cinco y cuatro debe ser igual a la diferencia entre cuatro y cinco, situación que no es posible, pues "5-4 =1" y "4-5=-1", "1" es diferente de "-1". En conclusión, verifiquemos si al conmutar los elementos que componen la resta, se mantiene el mismo resultado.

Efectivamente, el cero no es el módulo de la resta, pues al cambiar el orden de los elementos operados, no se conserva el resultado.

Si deseas otro ejemplo, te invitamos a revisar el siguiente video:

Por aquí te dejamos dos preguntas que te ayudarán a evaluar lo aprendido sobre la propiedad modulativa. En caso que tengas inquietudes y necesites ayuda, puedes escribiros en la caja de comentarios ubicada en la parte inferior de cada imagen y con mucho gusto te responderemos.

1. Complete el enunciado de la siguiente imagen:

2. Complete el enunciado de la siguiente imagen:

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Pregunta 1 - Pregunta 2

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Actividad #2

1. Resuelve los siguientes test y practica lo aprendido sonbre la propiedad modulativa y conmutativa

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Propiedad asociativa - ejemplos

La propiedad asociativa consiste en utilizar los signos de agrupación para agrupar los términos de una expresión de diferentes maneras. Si las representaciones que surgen son equivalentes a la expresión inicial podemos afirmar que la operación en cuestión cumple la propiedad asociativa. Revisemos el siguiente caso.

al agrupar los términos de la expresión anterior de diferentes maneras tenemos que el resultado siempre es igual a 18:

Por consiguiente la suma cumple la propiedad asociativa.

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Actividad #3

1. Resuelve los siguientes test en el cuaderno y practica lo aprendido sonbre la propiedad asociativa.

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Expresiones con signos de agrupación

Para simplificar una expresión matemática que tiene signos de agrupación, primero debemos resolver las operaciones encerradas entre parentesis, luego las operaciones entre corchetes y finalmente las operaciones entre llaves.

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Actividad #4

1. Resuelve los siguientes test en el cuaderno y practica lo aprendido sobre la propiedad asociativa.

2. Resuelve los siguientes test en el cuaderno, practica la simplificiación de signos de agruación y el calculo del perímetro de figuras planas.

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Orden en las operaciones

Una manera de recordar el orden correcto para simplificar un polinomio aritmético que contiene signos de agrupación; es utilizar el acrónimo PEMDAS.

Paréntesis
Exponentes
Multiplicaciones
Divisiones
Adiciones
Sustracciones

En este orden de ideas, se inician resolviendo de izquierda a derecha las operaciones contenidas en los parétesis, luego siguen los exponentes, después las multiplicaciones o divisiones; lo primero que se encuentre de izquierda a derecha, y finalmente se resuelven las sumas y restas.

Actividad #5

1. Resuelve los siguientes test en el cuaderno y practica lo aprendido sobre el orden de las operaciones.

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Actividad #6

1. Resuelve los siguientes test en el cuaderno y practica lo aprendido sobre el orden de las operaciones.

2. Resuelve los siguientes test en el cuaderno y practica lo aprendido sobre el orden de las operaciones en la resolución de problemas.

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