Autor: José David Muñoz Acevedo.
Fecha: Febrero 29 de 2024.
Fracción como contenido estructurante
¿Qué es un contenido estructurante?
(Gagliardi,1986) afirma que "Es un sistema de conceptos que van a transformar el sistema cognitivo de los estudiantes, de manera que les van a permitir construir conocimientos nuevos de forma coherente mediante la construcción de nuevos significados, o modificar otros conocimientos por construcción de significados anteriores".
¿POR QUÉ SE ELIGIÓ LA NOCIÓN DE FRACCIÓN COMO CONCEPTO ESTRUCTURANTE?
Se eligió la noción de fracción como contenido estructurante porque a partir de él pueden construirse conceptos de probabilidad simple, medición, submúltiplos; clasificar decimales, proporciones, semejanza, congruencia...
En relación a lo anterior, se propone la siguiente ruta de aprendizaje para desarrollar y relacionar la noción de fracción con los conceptos anteriormente mencionados:
1. La noción de unidad
El estudiante debe comprender que la unidad puede representarse de diferentes formas y cantidades. Un grupo de diez canicas puede ser la unidad para Sara, pero las cuatro canicas que tiene Gustavo representan una unidad diferente para él. Por consiguiente, la unidad puede ser un grupo de personas, una determinada cantidad de dinero, una longitud, un área, entre otras cosas.
2. La noción de fracción
La fracción es una porción o parte de la unidad que resulta de dividirla en porciones congruentes, la cuales comparten la misma forma y tamaño. Al referirnos a una fracción es de suma importancia establecer la unidad a la cual pertenece, pues no es lo mismo obtener la mitad de una pizza personal que la mitad de una pizza extragrande.
3. Relación parte todo
En este punto el estudiante debe tener claro que el todo es susceptible de dividirse en partes iguales y que la composición de las mismas lo representa. En este sentido, se propone al maestro trabajar con cantidades discretas que le permitan divisiones congruentes, iguales en forma y tamaño. Para ello puede apoyarse en la superficie de las figuras planas o en la longitud. En este orden de ideas, se sugiere que las figuras geométricas a trabajar sean las más sencillas como son el cuadrado o el rectángulo. Importante trabajar esta noción con material concreto.
Representación gráfica de una fracción
Actividad N°1
Aprendizajes a desarrollar:
• Identificar la unidad.
• Reconocer que la unidad puede tener diferentes formas y cantidades.
Orientación del maestro: El maestro le asigna a cada grupo una cantidad diferente de snap cubes y les da un tiempo de 5 a 10 minutos para familiarizarse con el material. Durante este lapso, los estudiantes pueden formar la figura que deseen.
Orientación del maestro: Se sugiere que el maestro inicie asignándole al primer grupo 20 snap cubes, al segundo 15 snap cubes, al tercero 10 snap cubes y al cuarto 5 snap cubes.
1. Cree una figura libre con las fichas proporcionadas y preséntela ante los demás grupos.
2. ¿Cuántas fichas tiene la unidad en cada grupo?
3. ¿La unidad es igual en cada grupo?
Actividad N°2
Aprendizajes a desarrollar:
• Identificar diferentes unidades.
• Comprender que una fracción es una porción que resulta de dividir la unidad en partes iguales.
• Comprender la relación parte todo.
• Representar una fracción mediante el uso del lenguaje natural.
• Reconocer el numerador y denominador de una fracción.
Orientación del maestro: Manteniendo la cantidad de fichas asignadas
en cada grupo, el maestro le pide a cada uno dividir la unidad en 20, 15, 10 y 5 partes iguales,
de modo que los estudiantes deben desenganchar los cubos y dejarlos libres como aparece en la siguiente
imagen:
Orientación del maestro: Posteriormente formula los siguientes interrogantes:
1. ¿Las unidades de cada grupo son iguales? Justifique su respuesta.
2. ¿Cada unidad se dividió en partes iguales? Justifique su respuesta.
Orientación del maestro: El maestro puede recordarle a los estudiantes que dividir
implica repartir la unidad en partes iguales. Posteriormente, se acerca al
primer grupo, toma un cubo y pregunta en voz alta:
3. ¿Cuántas porciones tomé del total?
Orientación del maestro: Se espera que los estudiantes respondan una
de veinte totales. Luego el maestro se dirige a cada grupo y
repite la misma experiencia. Al concluir, el maestro explicará
que en cada situación se ha trabajado con una parte del todo,
concepto que a partir de ahora se identificará como fracción. Por consiguiente,
una fracción es una porción que resulta de dividir la unidad en partes iguales.
A continuación el maestro le asigna a cada estudiante una unidad que contiene diez
cubos y les pide :
1. Separe al lado derecho la fracción equivalente a tomar tres de diez totales.
2. Dibuje la unidad en el cuaderno y escriba el número de cubos que contiene.
3. Encierre con el lápiz la fracción que representa tomar tres de diez totales.
4. ¿Qué representa el primer número de la fracción anterior?
Orientación del maestro: Es importante que el maestro
enfatice que el primer número representa las parte a tomar y que
esta recibe el nombre de numerador.
5. ¿Qué representa el segundo número de la fracción anterior?
Orientación del maestro: Es importante que el maestro enfatice
que el segundo número representa las divisiones o particiones de la unidad,
y que este recibe el nombre de denominador.
6. ¿Cuál es la fracción que sobra?
7. ¿Qué sucede sí juntamos los tres de diez totales que tomamos y los siete de diez totales que
sobraron ?
8. ¿Qué sucede si dividimos la unidad y luego juntamos las partes?
Orientación del maestro: Se espera que los estudiantes contesten que la unidad
puede conformarse con la unión de las partes, lo que se denomina relación parte todo.
RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS TENIENDO EN CUENTA LA SIGUIENTE GRAFICA
Orientación del maestro: Se espera que los estudiantes representen las fracciones
usando el lenguaje natural, hay cuatro rojas de veinte totales.
9. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos de color rojo?
10. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos de color verde?
11. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos de color amarillo?
12. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos de color purpura?
13. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos de color café?
14. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos de color café y rojo?
15. ¿Cuál es la fracción que representa los cubos que no son de color café?
Figuras geométricas planas
Aprovechando que la noción de unidad se construyó anteriormente, se sugiere al maestro formar grupos de tres estudiantes y proporcionarle a cada uno un conjunto de fichas, en el que se encuentren cuadriláteros diferentes, triángulos, hexágonos y pentágonos, como se aprecia a continuación:
Actividad N°3
Aprendizajes a desarrollar:
• Crear subconjuntos de figuras planas a partir de las características comunes.
• Identificar las características que tienen los cuadriláteros, triángulos, pentágonos y hexágonos.
• Representar las fracciones haciendo uso del lenguaje natural.
• Comprender el significado que tiene el numerador y denominador en una fracción.
Orientación del maestro: El propósito de la actividad, es lograr que los estudiantes
formen subconjuntos a partir de la identificación de características comunes
entre las fichas, las cuales puede ser: el color, la forma, el
número de lados, número de ángulos, etc. Es importante que
el maestro se cerciore de que al menos uno de los grupos escogió
como característica común el número de lados, en caso de que no sea
elegida por los estudiantes, debe sugerirla el maestro.
1. Observe cuidadosamente el conjunto de fichas
y construya los subconjuntos posibles a partir de las características
geométricas que identifica.
Orientación del maestro: Se espera que los estudiantes construyan los siguientes subconjuntos.
2. Nombre cada uno de los subconjuntos considerando la o las características comunes entre los elementos.
Orientación del maestro: Es importante que los estudiantes tengan la libertad de
asignar el nombre que consideren apropiado, que lo expongan al grupo y justifiquen
su elección. Después del proceso anterior, el maestro puede mencionar que dichas características
coinciden con las establecidas por la comunidad científica, y que esta las nombro como: cuadriláteros,
triángulos, pentágonos, Etc.
3. Dibuje en el cuaderno los subconjuntos construidos y etiquételos como cuadriláteros,
triángulos, pentágonos o hexágonos según el caso.
4. ¿Cuál de los subconjuntos representa la fracción más grande y por qué?
Orientación del maestro: El maestro debe dejar muy claro que la unidad está representada por
el conjunto de fichas planas, conformada por los subconjuntos anteriormente mencionados como:
cuadriláteros, triángulos, pentágonos y hexágonos. Podría suceder que los estudiantes elijan la superficie
como un criterio para determinar la fracción
más grande o pequeña, incluso podrían afirmar que no es posible determinar cuál fracción es más grande considerando que las figuras no
representan porciones congruentes. Para ayudar a los estudiantes a sortear dicho
obstáculo didáctico, es importante que el maestro aclare que interesa considerar la cardinalidad de cada
conjunto y subconjunto, de esta manera, solo importa el número de veces que están los pentágonos en el conjunto de las figuras planas,
de modo que es posible determinar que dicho subconjunto representa la fracción 3/14, pues se tiene tres figuras de catorce totales.
5. ¿Algun fracción es mayor que la unidad?
Orientación del maestro: En esta pregunta el maestro
puede aprovechar la respuesta de los estudiantes para nombrar a estas fracciones como propias.
6. ¿Cuántos elementos del total tiene cada subconjunto?
Orientación del maestro: Es importante que el estudiante inicie representando
las fracciones desde el lenguaje natural, razón por la cual se sugiere utilizar el siguiente esquema:
• Siete de catorce son cuadriláteros.
• Dos de catorce son triángulos.
7. ¿Qué representa el primer número que utilizamos para representar la fracción?
Orientación del maestro: Es importante que el maestro enfatice que
el primer número representa las parte a tomar y que este recibe el nombre de numerador.
8. ¿Qué representa el segundo número que utilizamos para representar la fracción?
Orientación del maestro: Es importante que el maestro enfatice que
el segundo número representa las divisiones o particiones de la unidad, y que este recibe el nombre de denominador.
Orientación del maestro: Hasta el momento los estudiantes han identificado fracciones a partir de un conjunto de fichas y las han representado en lenguaje natural; pero no han hecho el proceso inverso, usar las fichas para representar la fracción descrita en lenguaje natural.
Actividad N°4
Utilice todas las fichas para representar los siguientes enunciados y
explique qué representa el primer y segundo número de cada fracción:
• Cuatro de 14.
• Siete de 14.
• Seis de 14.
• Nueve de 14.
Orientación del maestro: En los siguientes ejercicios es importante
recordarle a los estudiantes que una fracción es una porción de la unidad, la
cual fue dividida en partes iguales. En el caso puntual de las figuras planas,
cada figura representa "1", de modo que tener catorce de ellas completa la unidad.
• Tres de 7 .
• Uno de 2 .
Sólidos
Orientación del maestro: Considerando que la noción de unidad es una concepción previa que ya
han trabajado los estudiantes, se sugiere al maestro formar grupos
de tres estudiantes y proporcionarle a cada uno un conjunto de fichas
conformado por diferentes prismas. El propósito de la
actividad es formar subconjuntos identificando una característica
común entre las fichas, la cual puede ser, la forma de las caras,
el número de aristas, número de ángulos, etc. Es importante que el maestro pase
por todos los grupos, si descubre que dos grupos están construyendo un conjunto similar,
aproveche para resaltar el hallazgo y motívelos a encontrar otro patrón.
Actividad N°5
1. Formen grupos de tres integrantes.
2. Observen cuidadosamente las fichas, identifiquen la o las
características comunes que son diferentes al color, construyan un
conjunto y nómbrelo.
3. Dibuje en el cuaderno el conjunto construido y nómbrelo.
4. Observe cada una de las fichas y determine,
¿cuántas caras diferentes tiene?
5. Elija una de las caras del punto anterior, dibújela
y escriba las características que encuentren.
6. Elija la cara restante, dibújela y escriba
las características que encuentren.
Orientación del maestro: el maestro debe utilizar las características que identifican los estudiantes en los puntos 5 y 6 para nombrar los conjuntos como prismas cuadrangulares, rectangulares, pentagonales ...resaltando que dichos prismas se caracterizan por tener dos caras opuestas que son paralelas e idénticas; y el resto son rectángulares.
7. Nombre cada conjunto utilizando las características identificadas.
8. Determine el número de elementos que tiene la unidad y cada
subconjunto.
9. ¿Cuántos elementos tiene cada subconjunto
respecto a la unidad?
10. ¿Cuál es la fracción que representa cada subconjunto?
11. ¿Cuál de los subconjuntos representa la fracción más grande
y por qué?
12. ¿Cuántas fracciones son propias? Justifique su respuesta.
Orientación del maestro: Aprovechando que para este punto los estudiantes han construido las ideas de fracción, fracciones propias, unidad y su representación formal, vale la pena avanzar y trabajar con ellos dos cosas.La primera tiene que ver con la noción de fracción impropia, y la segunda, el cambio de representación de la fracción vista como una división entre el numerador y el denominador: (numerador ÷ denominador).
Actividad N°6
Orientación del maestro: El maestro inicia la clase leyendo en voz alta el siguiente problema:
1.Mangüirry celebra su cumpleaños y compra un pastel que tiene diez porciones. Considerando
que a su casa llegan 15 personas de las diez que invitó, ¿qué puede hacer para atender a todas las
personas sin disminuir la porción que inicialmente asignó para los diez invitados?
Orientación del maestro:
Para facilitar el proceso de comprensión a los estudiantes, se sugiere que el maestro
asigne a cada uno veinte fichas congruentes, de modo que diez de ellas representen la torta y
cada una de las fichas las respectivas porciones.
Es importante que el maestro acompañe a los estudiantes para que cumplan con
los criterios establecidos en el problema, pues es probable que algunos propongan partir cada
décimo a la mitad, comprar otra torta más pequeña o no atender algunas personas. Para indagar
las ideas que tienen los estudiantes sobre la solución del problema planteado se sugieren
las siguientes preguntas orientadoras:
• ¿Es posible dividir cada porción de la torta a la mitad? Pues de esta
manera tendríamos más porciones.
• ¿Es posible devolver a las personas que no se invitaron? Puesto que de esta
manera la torta alcanzaría para todos.
• En caso que ningún estudiante proponga comprar otra torta, se sugiere formular
la pregunta: ¿Es posible comprar otra torta más pequeña que sea también de diez porciones?
• ¿Es posible comprar otra torta idéntica de diez porciones?
Las preguntas anteriores deben permitirles a los estudiantes concluir que es necesario comprar otra torta
idéntica, en consecuencia, que es necesario consumir más de la unidad, justamente 15/10, una porción que
recibe el nombre de fracción impropia. Esta conclusión debe orientarla el maestro y aprovecharla
para introducir la representación de esta como una fracción mixta, resaltando que 15/10 es equivalente a 1 y 1/5 de torta o unidad. Ver
la siguiente imagen:
2. Utilice las fichas y represente con ellas 2/10.
Orientación del maestro:
Para orientar a los estudiantes en la solución del ejercicio
anterior, se sugiere formular las siguientes preguntas orientadoras:
• ¿2/10 es mayor que la unidad?
• ¿Cuántos décimos sobran al tomar 2/10 de la unidad?
• ¿Cuál es la fracción mayor: 2/10 o 8/10?
Posterior, el maestro institucionaliza que un décimo de la unidad
tambíen recibe el nombre de una décima, y por lo tanto,
diez décimas conforman una unidad.
3. Resuelva en el cuaderno 2÷10.
4. ¿Qué aspectos en común identifica al representar con las fichas 2/10 y resolver 2÷10?
Posteriormente se le pide a los estudiantes que escriban 2/10
como 2÷10 y resuelvan la división. Al iniciar el proceso de
dividir y después de asignar los dígitos del divisor en el valor posicional
correspondiente en la tabla, se aprecia que no es posible formar un grupo de diez unidades
con los dos óvalos ubicados en dicha posición, por consiguiente puede afirmarse que
diez cabe cero veces en dos, resultado que determina el valor de la unidades en el cociente
de la división.
Teniendo en cuenta lo anterior, se descomponen las dos unidades en veinte décimas
y se ubica el resultadeo en el valor posicional correspondiente. Con dicha cantidad
es posible formar dos conjuntos de diez óvalos cada uno, de modo que diez cabe dos veces en veinte. El número
que representa los conjuntos conformados con las veinte décimas
se ubica en el cociente y después de la coma, indicando que
en esa posición irán las décimas. Es importante
aclarar que para las centésimas, milésimas y demás valores posicionales que son menores que la unidad,
no es necesario poner una coma cada vez que se presente cada uno de ellos.
Como puede apreciarse en la siguiente imagen, después de la coma
se encuentra el número dos, el cual representa las colecciones formadas
con todas las décimas disponibles. De modo que el resultado de la división es 0.2, tal y como
se puede apreciar en la siguiente imagen:
Otro ejemplo: 5/10 o 5÷10:
En caso que el lector necesite mayor orientación sobre el algoritmo de la división, se sugiere ver el siguiente video:
3. Utilice las fichas para representar 7/10 y resuelva: 7÷10. ¿Qué aspectos en común identifica al representar con las fichas 7/10 y resolver 7÷10?
4. Utilice las fichas para representar 9/10 y resuelva: 9÷10. ¿Qué aspectos en común identifica al representar con las fichas 9/10 y resolver 9÷10?
5. Utilice las fichas para representar 6/10 y resuelva: 6÷10. ¿Qué aspectos en común identifica al representar con las fichas 6/10 y resolver 6÷10?
6. Utilice las fichas para representar 9/5 y resuelva: 9÷5. ¿Qué aspectos en común identifica al representar con las fichas 9/5 y resolver 9÷5?
Orientación del maestro:
En la siguiente imagen se puede apreciar que al comparar el resultado de
(9÷5) con (9/5) es posible tomar una
unidad completa y una fracción adicional, por consiguiente, se tiene una fracción impropia.
Al resolver (9÷5) da como resultado 1.8, la parte entera
representa que se ha tomado una unidad, y por otro lado, la parte decimal significa que
se han tomado ocho décimas adicionales. De modo que se toma otra
unidad, se divide en diez partes como aparece en la parte derecha de la imagen y
se toman ocho porciones de color rojo, justamente una porción equivalente a los 4/5 de color naranja que se encuentran
al lado izquierdo del número "6". Como puede apreciarse en ambos casos, se tiene un entero y cuatro quintos de la unidad,
o una fracción mixta.
Un aspecto tan importante como el anterior, es resaltar que el óvalo verde que encierra los cinco óvalos más pequeños en la posición de las unidades representa la unidad, razón por la cual, se escribe uno en el cociente. Los óvalos restantes en la posición de las unidades se reubican en la posición de las décimas, obteniendo un total de 40 de estas. Al formar grupos de cinco óvalos, es posible formar ocho colecciones de cinco elementos cada una, en otras palabras, las ocho décimas que están en el cociente de la división, por consiguiente 9/5 es igual que 9÷5.
7. Utilice las fichas para representar 3/2 y compare lo que obtiene con el resultado de : 3÷2. ¿Qué se puede concluir?
8. Utilice las fichas para representar 12/5 y compare lo que obtiene con el resultado de : 12÷5. ¿Qué se puede concluir?
9. Utilice las fichas para representar 9/2 y compare lo que obtiene con el resultado de : 9÷2. ¿Qué se puede concluir?
10. Utilice las fichas para representar 7/5 y compare lo que obtiene con el resultado de : 7÷5. ¿Qué se puede concluir?
11. Utilice las fichas para representar 9/12 y compare lo que obtiene con el resultado de : 9÷12. ¿Qué se puede concluir?
Referencias bilbLiográficas
• Gagliardi, R.(1986). Los conceptos estructurales en el aprendizaje por investigación. Enseñanza de las ciencias, 1986, 4(1),pp.30-35.