Sucesiones
¿Qué es una sucesión?
En matemáticas, una sucesión es un conjunto de números ordenados que siguen un patrón o regla. Cada número de la sucesión se llama “término” y se representa como "an", donde "n" indica la posición en la sucesión y "n" pertenece al conjunto de los números naturales.
En este artículo, se presentarán tres tipos de sucesiones muy comunes:
• Sucesiones líneales.
• Sucesiones cuadráticas.
• Sucesiones de cúbicas.
Sucesiones lineales
Una sucesión lineal, también llamada aritmética, es aquella en la que la diferencia entre cada término siempre es constante. A esa diferencia se le llamará "d".
Ejemplo: 2,5,8,11,…
• La diferencia entre términos consecutivos es 3, por tanto, es una sucesión lineal.
La formula general esta dada por:
Sucesiones cuadráticas
En una sucesión cuadrática, las diferencias entre dos términos consecutivos no es constante, pero las segundas diferencias (es decir, la diferencia de las diferencias) sí son constantes. Para mayor claridad, observe la siguiente imagen:
La formula general esta dada por:
donde a, b y c son números que determinamos a partir de los primeros términos.
Sucesiones cúbica
En una sucesión cuadrática, las terceras diferencias son constantes. Para mayor claridad, observe la siguiente imagen:
La formula general esta dada por:
donde a, b, c y d son números que determinamos a partir de los primeros términos.
Sucesiones geométrica
Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón (generalmente denotada por r). La fórmula general para el término n-ésimo es:
La formula general esta dada por:
donde "a1" es el primer término de la sucesión, "r" es la razón constante entre términos consecutivos y "n" es la posición del término en la sucesión.
Actividad # 1
Aprendizajes:
• Reconocer las características de las sucesiones aritméticas (diferencia constante), cuadráticas (segunda diferencia constante) y cúbicas (tercera diferencia constante).
• Utilizar la fórmula general para calcular el término en una posición específica de la sucesión.
Dada las siguientes sucesiones encuentre el termino que le corresponde la posición 6,7 y 10.
1. 3,7,11,15,…
2. 5,9,13,17,…
3. 10,15,20,25,…
4. 2,6,10,14,…
5. 1,4,7,10,…
6. 2,6,12,20,30,…
7. 3,7,13,21,31,…
8. 2,5,10,17,26,…
9. 4,9,16,25,36,…
10. 3,6,11,18,27,…
11. 2,10,30,68,130,…
12. 2,16,54,128,250,…
13. 0,6,24,60,120,…
14. 3,16,45,96,175,…
15. 3,6,12,24,…
16. 5,−10,20,−40,…
17. \(\displaystyle 7, \frac{7}{2}, \frac{7}{4}, \frac{7}{8}, ... \)
18. \(\displaystyle \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24} ... \)
19. \(\displaystyle \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{16} ... \)
20. \(\displaystyle \frac{7}{8}, \frac{21}{32}, \frac{63}{128}, \frac{189}{512} ... \)
2. Calcule los primeros cinco términos y el 122-ésimo término de la sucesión definida en cada una de las siguientes formulas.
1. \(\displaystyle a_n = 2n-1\)
2. \(\displaystyle c_n = 3n^2 + 2n + 1\)
3. \(\displaystyle b_n = 4n^3 + 3n^2 + 2n + 1\)
4. \(\displaystyle t_n =\frac{n}{n+1}\)
5. \(\displaystyle r_n =\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\)
6. \(\displaystyle s_n =\frac{1}{n}\)
7. \(\displaystyle p_n =\frac{1}{n^2}\)
Sucesión como una función
Una sucesión también es una relación de dependencia entre el conjunto de las posiciones y el conjunto de los respectivos términos de la sucesión. El primer conjunto recibe el nombre de dominio o conjunto de partida, mientras que el otro, se le llama rango o conjunto de llegada. Dicha relación de dependencia debe ser una función o univoca, es decir, a cada elemento del dominio debe corresponderle uno y solo un elemento del rango.
