Propieadades de la potenciación
Potenciación
La potenciación puede entenderse como una multiplicación abreviada entre factores iguales, donde el producto se representa utilizando uno de los factores como base y el número de veces que se repiten como el exponente. En este orden de ideas el producto:
Puede representarse como :
Propiedad de la potenciación en el producto
Si tenemos un producto entre factores iguales como en el caso anterior, este puede representarse escibiendo una vez el factor en cuestión "a" y como exponente la suma de los respectivos exponentes "n+m", tal y como se puede apreciar a continuación:
Sobra decir que la propiedad anterior no aplica para bases diferentes:
Actividad #1
Resuelve los siguientes test y practica lo aprendido sobre la propiedad de la potenciación en la multimplicación:
Propiedad de la potenciación en el cociente
Si tenemos un cociente entre dos cantidades que compartan la misma base, podemos reescribir dicha expresión utilizando la misma base y asignando como exponente la diferencia entre el exponente del numerador y denominador, tal y como se puede apreciar continuación:
Sobra decir que la propiedad anterior no aplica para bases diferentes o cuando "a" sea igual a cero:
Actividad #2
Test sobre la propiedad de la potenciación en la multiplicación y división.
1. Resuelve los siguientes test aplicando únicamente las propiedades de la potenciación en la multiplicación y la división.
2. Resuelve los siguientes test aplicando únicamente las propiedades de la potenciación en la multiplicación, la división y exponente negativo.
Actividad #3
Test sobre la propiedad de la potenciación en la multiplicación, división y suma de racionales.
Actividad #4
Test sobre la propiedad de la potenciación en la multiplicación, división y cálculo de áreas.
Potencia de una base negativa
Si tenemos una base negativa elevada a una exponente "n", podemos conocer el signo de la potencia considerando la siguiente información:
Potencia de una potencia
Exponente negativo
En el siguiente video encontrarás un tutorial que te ayudará a comprender la aplicación de las propiedades de la potenciación
Actividad N°5
Aprendizajes:
• Comprender la importancia de la notación científica en la simplificación de números extremadamente grandes o pequeños.
Motivación: Juego Caiga en la nota
Instrucciones: Se forman grupos de tres estudiantes, a cada grupo se le asigna un número. Luego, el profesor pone la canción y explica que bajará el volumen en un momento determinado. Siguiendo el orden establecido en los grupos, el primero deberá cantar durante unos segundos. Si, al subir el volumen, la canción coincide con lo que el grupo cantó, cada integrante ganará cinco décimas. En caso contrario, no obtienen recompensa. Para que los estudiantes se familiaricen con la canción, se recomienda que la escuchen dos veces.
Canción
Letra de la canción
¡Ey! Atención, escucha este compás,
Traigo matemáticas con un poco de jazz.
Soy el profe y el artista, todo en uno,
Con notación científica, ¡llegarás al número uno!
[Verso 1]
Si el número es gigante y te cuesta pronunciar,
O es tan diminuto que no puedes calcular,
No te preocupes más, te voy a enseñar,
Con notación científica lo vas a expresar.
Ejemplo 1: Un millón es grande, fácil de enredar,
Es uno por diez a la seis, mira qué genial.
Nueve millones entonces, ¿cómo será?
Nueve por diez a la seis, y listo pa' usar.
[Coro]
Toma un número entre uno y diez,
Multiplícalo por diez elevado al ex.
El exponente cuenta los lugares que movés,
Así se escribe, ¡fácil de una vez!
[Verso 2]
Si tienes un decimal que es muy pequeño,
Como cero punto cero cero dos, te enseño.
Mueve la coma tres lugares a la derecha,
Dos por diez a la menos tres, la respuesta está hecha.
Ejemplo 2: La distancia al sol es grande de verdad,
Ciento cincuenta millones de kilómetros, ¡vaya cantidad!
Es uno punto cinco por diez a la ocho,
Con notación científica, ¡todo se hace en un pacho!
[Coro]
Toma un número entre uno y diez,
Multiplícalo por diez elevado al ex.
Si el número es pequeño, negativo es,
Así se escribe, ¡ya lo sabes bien!
[Verso 3]
La masa de un electrón es diminuta en verdad,
Nueve punto uno por diez a la menos treinta y uno, ahí está.
Y la velocidad de la luz, tan rápida es,
Tres por diez a la ocho metros por segundo, ¿lo ves?
Ejemplo 3: Un gigabyte en bytes lo puedes expresar,
Es uno por diez a la nueve, fácil de aplicar.
Con números muy grandes o muy chicos también,
La notación científica siempre sienta bien.
[Coro]
Toma un número entre uno y diez,
Multiplícalo por diez elevado al ex.
La dirección de la coma te lo diré,
El signo del exponente así sabré.
[Outro]
Ahora ya lo sabes, no hay complicación,
Con este rap dominas la notación.
Matemáticas y música en combinación,
¡Notación científica en tu corazón!
Versión en inglés
Lyrics of the song
Hey! Attention, listen to this beat,
Bringing math to you with a little bit of heat.
I'm the teacher and the artist, all in one,
With scientific notation, you'll be number one!
[Verse 1]
If the number's huge and hard to pronounce,
Or it's so tiny that it doesn't quite bounce,
Don't you worry now, I'm here to teach,
With scientific notation, it's within your reach.
Example 1: A million's big, easy to confuse,
It's one times ten to the six—good news!
Nine million then, how will it be?
Nine times ten to the six, simple as can be.
[Chorus]
Take a number between one and ten,
Multiply by ten to the exponent then.
The exponent counts the places moved along,
That's how you write it—can't go wrong!
[Verse 2]
Got a tiny decimal that's hard to see,
Like zero point zero zero two? Let me be.
Move the point three places to the right,
Two times ten to the minus three—alright!
Example 2: The distance to the sun is truly vast,
A hundred fifty million kilometers fast.
It's one point five times ten to the eight,
With scientific notation, it's easy to state.
[Chorus]
Take a number between one and ten,
Multiply by ten to the exponent then.
If the number's small, exponent's negative, friend,
That's how you write it—start to the end!
[Verse 3]
The mass of an electron is tiny, you see,
Nine point one times ten to minus thirty-one, agree?
And the speed of light is incredibly quick,
Three times ten to the eight—that's the trick!
Example 3: A gigabyte in bytes can be expressed,
As one times ten to the nine—no stress!
With numbers large or small, whatever the case,
Scientific notation puts them in their place.
[Chorus]
Take a number between one and ten,
Multiply by ten to the exponent then.
The direction of the point will tell the sign,
Of the exponent—now you're doing fine!
[Outro]
Now you know it all, there's no complication,
With this rap, you've mastered notation.
Math and music in a perfect fusion,
Scientific notation's your solution!
1. Analiza la letra de la canción y escribe los aspectos más importantes sobre la notación científica.
2. Utiliza el siguiente recurso para crear un mapa mental que evidencie las ideas más relevantes y sus respectivas relaciones.
3. Imprime el mapa mental en pdf y compartelo con tus compañeros.
4. Utiliza la notación científica y reescribe las siguientes cantidades:
• 0.000002
• 0.000258
• 2300000000
• 0.122858
Actividad N°6
Aprendizajes:
• Comprender la importancia de la notación científica en la simplificación de números extremadamente grandes o pequeños.
1. Lee el siguiente cuento y responde las preguntas que están al final.
Cuento:El Misterio del Número Perdido y la Notación Científica
Había una vez un reino mágico llamado Matemáticalia, donde todos los números vivían en armonía. En este reino, los números trabajaban en las tareas más variadas: los grandes construían enormes edificios, mientras que los pequeños se encargaban de detalles diminutos y precisos.
Un día, una emergencia sacudió al reino. El sabio Número Uno recibió la terrible noticia: ¡el Cero había desaparecido! Sin el Cero, el equilibrio del reino estaba en peligro, pues los números grandes y pequeños se volvían imposibles de manejar correctamente. Los números no sabían cómo representar cosas como 1,000,000,000,000 o 0.0000000000001. Sin el Cero, las matemáticas simplemente no funcionaban.
Preocupado, el Número Uno convocó una reunión en la Gran Plaza de las Operaciones. Estaban presentes todos los números importantes del reino: desde Millón y Billón, hasta los más pequeños, como Centésimo. Todos miraban con preocupación al Profesor 6.02 × 1023, uno de los números más sabios del reino.
—¡Estamos en serios problemas! —dijo el Profesor—. Sin el Cero, no podemos escribir números grandes ni pequeños. No podemos ni siquiera expresar el tamaño de un átomo o la distancia entre estrellas. No podemos usar la notación científica, porque sin el Cero, nuestro sistema deja de ser en base diez y los exponentes y decimales pierden sentido. Y lo peor de todo, muchos de nosotros perderíamos nuestra esencia. Sin mis ceros, ahora solo soy 6.#2.
—¿Por qué es tan importante la notación científica? —preguntó Pequeño Uno, uno de los números más jóvenes.
El Profesor, ahora conocido como 6.#2, suspiró y respondió:
—Imagina que queremos escribir el tamaño de una molécula, algo tan pequeño como 0.0000000000000000000000001 metros. Sin la notación científica y sin el Cero, no podríamos hacerlo. Pero con la notación científica, podríamos escribirlo como 1 × 10⁻²⁵. El Cero y tú juntos forman el 10, el número que nos permite mover el punto decimal y expresar estos números de manera sencilla. Sin él, estamos perdidos.
Los números sabían que debían encontrar al Cero para restaurar el equilibrio. Pero el Cero, como siempre, se había escondido porque pensaba que no era importante.
La Búsqueda del Cero
Un valiente grupo de números decidió embarcarse en una misión para encontrar al Cero. Pequeño Uno y el Profesor 6.#2 lideraban la búsqueda, acompañados por otros números. Recorrieron montañas de cálculos y cruzaron los desiertos de las fracciones. Finalmente, encontraron al Cero escondido en el Valle de los Decimales, acurrucado y solo.
—¿Por qué te escondes, Cero? —preguntó Pequeño Uno—. ¡Eres vital para las matemáticas!
El Cero, con lágrimas en los ojos, respondió:
—Pensé que no me necesitaban. Después de todo, no sumo nada. Soy solo un número vacío.
Al ver al Cero, el Profesor recuperó su forma original como 6.02 × 1023. Sonrió y dijo:
—¡Pero sin ti, no podemos expresar los números grandes y tampoco los pequeños! Mira, cuando queremos escribir algo como 1,000,000, sin ti, sería imposible. No podríamos usar la base diez de nuestro sistema para mover el punto decimal y escribir números pequeños como 0.0000000000001. La notación científica no funcionará sin ti.
El Cero, sorprendido, comenzó a sonreír.
—¿De verdad soy tan importante?
—Por supuesto —dijo Pequeño Uno—. Gracias a ti podré convertirme en diez, y en esta nueva forma, ser la base y a través de la notación científica simplificar la escritura y las operaciones entre números extremadamente grandes o pequeños, resolviendo así problemas que de otro modo serían muy complejos.
El Regreso del Cero
El Cero regresó al reino y, con su vuelta, la notación científica volvió a funcionar correctamente. Ahora, los números podían representar grandes distancias como 150,000,000 kilómetros como 1.5 × 108. Y para los números diminutos, como el tamaño de un átomo, podían escribir 0.0000000001 como 1 × 10-10.
Matemáticalia volvió a florecer, y todos los números aprendieron una valiosa lección: cada número, sin importar su valor, tiene un papel crucial en el equilibrio del mundo matemático. El Cero caminaba orgulloso por las calles del reino, sabiendo que, aunque a veces se sintiera insignificante, era indispensable para el funcionamiento de todo el universo numérico.
Y así, en Matemáticalia, los números siguieron utilizando la notación científica para simplificar sus cálculos y resolver los grandes misterios del mundo.
Resuelve las siguientes preguntas:
1. ¿Por qué la desaparición del Cero afectó tanto al reino de Matemáticalia? Explica su papel en la notación científica.
2. El Profesor 6.02 mencionó que sin el Cero no se podían escribir números grandes ni pequeños. ¿Cómo se utilizan el Cero y el número 1 para formar potencias de 10 en la notación científica?
3. En el cuento, Pequeño Uno dijo que podría convertirse en diez gracias al Cero. ¿Por qué es tan importante el número 10 en la notación científica para expresar números grandes y pequeños?
4. Cuando el Profesor explicó que no podían mover el punto decimal sin el Cero, ¿qué significaba esto en términos de la notación científica?
5. En el cuento, se menciona que la notación científica facilita la escritura de números como 1,000,000 o 0.0000000001. ¿Cómo se escribirían esos números usando notación científica?
6. El Cero fue crucial para simplificar la escritura de números grandes y pequeños en el cuento. ¿Cómo cambia la cantidad de ceros en un número cuando utilizamos la notación científica?
7. El Profesor 6.02 × 1023 menciona que sin el Cero no se podría expresar el tamaño de un átomo o la distancia entre estrellas. ¿Por qué es más práctico usar la notación científica en estos casos?
Actividad N°7
Aprendizajes:
• Comprender la importancia de la notación científica en la simplificación de números extremadamente grandes o pequeños.
• Utilizar la notación científica para reescribir cantidades grandes o pequeñas.
• Utilizar las propiedades de la potenciación para simplificar expresiones.
1. Ingrese al siguiente recurso y complete todos los niveles.
La Notación Científica: El Lenguaje de los Números Extremadamente Grandes y Pequeños
Imagina que tienes que escribir el número de moléculas de agua en un vaso. Para que te hagas una idea, un vaso contiene alrededor de 602,000,000,000,000,000,000,000 moléculas de agua. ¡Es un número tan grande que parece un trabalenguas de ceros! Y eso no es todo, hay números aún más pequeños, como el tamaño de un átomo, que puede ser de alrededor de 0.0000000001 metros.
Cuando tratamos con números así de gigantes o diminutos, escribirlos de forma tradicional no solo es incómodo, sino también impráctico. Aquí es donde entra en juego la notación científica, una herramienta que nos permite escribir estos números de manera más clara y concisa.
¿Qué es la notación científica?
La notación científica es una forma de escribir números grandes o pequeños utilizando potencias de 10. Se trata de expresar cualquier número como el producto de un número entre 1 y 10 (llamado "coeficiente") y una potencia de 10.
La fórmula básica de la notación científica es la siguiente:
Donde:
• N es el número que queremos escribir.
• a es el coeficiente, un número entre 1 y 10.
• b es el exponente, que indica cuántas veces multiplicamos (o dividimos) el número por 10.
Ejemplos para entender mejor:
1. Números grandes:
El número 602,000,000,000,000,000,000,000 (la cantidad aproximada de moléculas en un vaso de agua) se puede escribir en notación científica como:
Aquí, 6.02 es el coeficiente y 23 es el exponente que indica que movemos la coma decimal 23 lugares a la derecha.
2. Números pequeños:
Ahora, si hablamos del tamaño de un átomo, aproximadamente 0.0000000001 metros, podemos expresarlo en notación científica como:
El exponente negativo indica que movemos la coma decimal 10 lugares hacia la izquierda.
¿Por qué es útil la notación científica?
1. Simplicidad: Escribir números gigantes o minúsculos con todos sus ceros puede ser confuso y propenso a errores. La notación científica hace que sea mucho más fácil manejar esos números.
2. Claridad: Con la notación científica, inmediatamente sabes el orden de magnitud del número. Por ejemplo, en vez de leer un número largo como 602,000,000,000,000,000,000,000, puedes ver que 6.02 × 10²³ tiene un exponente que muestra cuán grande es.
3. Precisión: La notación científica también es útil en el campo de la ciencia, donde a menudo necesitamos medir con precisión números muy pequeños o grandes. Permite a los científicos y matemáticos ser más exactos en sus cálculos.
¿Cómo convertir números a notación científica?
Para convertir un número a notación científica, sigue estos pasos:
1. Mueve el punto decimal hasta que el número quede entre 1 y 10.
2. Cuenta cuántos lugares moviste la coma decimal. Este número se convertirá en el exponente de 10.
• Si moviste el punto hacia la izquierda, el exponente será positivo.
• Si moviste el punto hacia la derecha, el exponente será negativo.
Ejemplos:
Para convertir 45,000 a notación científica:
45000 = 4.5 x 10 4
Movimos el punto 4 lugares hacia la izquierda, por lo tanto, el exponente es 4.
Para convertir 0.00032 a notación científica:
0.00032 = 3.2 x 10 -4
Aquí movimos el punto 4 lugares hacia la derecha, así que el exponente es -4.
Actividad N°7
Aprendizajes:
• Reconocer el formato adecuado de la notación científica y realizar comparaciones simples entre números.
• Interpretar y seleccionar información precisa, como identificar cuál número es mayor en notación científica, en contextos sencillos.
• Realizar operaciones básicas con números en notación científica, como multiplicaciones y divisiones.
• Explicar por qué se utiliza la notación científica en ciertos contextos, justificando su utilidad en la representación de números pequeños o grandes.
• Aplicar notación científica en contextos más complejos, como la conversión de unidades o la manipulación de potencias de 10.
• Resolver problemas avanzados que implican el uso de conceptos algebraicos y justificar el uso de notación científica en situaciones abstractas como la velocidad de la luz o el tamaño de átomos.
1. ¿Cuál de los siguientes números está correctamente expresado en notación científica?
A. 0.45 X 103
B. 4.5 X 102
C. 45 X 101
D. 4500 X 100
2. De las siguientes opciones, ¿cuál número es mayor?
A. 5.6 X 104
B. 3.9 X 105
C. 4.2 X 103
D. 1.1 X 106
3. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 3.0 x 10 4 por 2.0 x 102?
A. 6.0 X 106
B. 6.0 X 105
C. 5.0 X 106
D. 5.0 X 105
4. ¿Por qué se utiliza la notación científica para representar 0.00012?
A. Facilita la lectura de números pequeños.
B. Hace que los cálculos sean más sencillos.
C. Reduce el número de dígitos.
D. Todas las anteriores.
5. Si la masa de un objeto es 4.2 x 10 5 gramos y se expresa en kilogramos, ¿cuál es el valor en notación científica?
A. 4.2 X 102
B. 4.2 X 103
C. 4.2 X 101
D. 4.2 X 104
6. ¿Cuál es el resultado de dividir 6.0 x 10 8 entre 3.0 x 103?
A. 2.0 X 105
B. 2.0 X 102
C. 2.0 X 104
D. 2.0 X 106
7. Si multiplicas 3.0 x 10 6 por 2.0 x 10-4, ¿qué principio justifica el resultado obtenido?
A. Se suman los exponentes de las potencias de 10.
B. Se multiplican las bases y se dividen los exponentes.
C. Se restan los exponentes de las potencias de 10.
D. Se suman los exponentes de las bases.
8. El diámetro de un átomo es aproximadamente 1.0 x 10 -10metros. Si 1000 átomos se alinean, ¿cuál es la longitud total en metros en notación científica?
A. 1.0 X 10-7
B. 1.0 X 10-10
C. 1.0 X 10-13
D. 1.0 X 10-6
9.La velocidad de la luz es 3.0 x 10 8m/s.¿Cuál sería el tiempo que tarda en recorrer 1.5 millones de kilómetros, expresado en segundos usando notación científica?
A. 5.0 X 102
B. 5.0 X 103
C. 5.0
D. 5.0 X 105
10. Si 4.0 x 10 -3 se multiplica por 2.5 x 10 2, ¿cuál es el resultado en notación científica?
A. 1.0 X 10-1
B. 1.0 X 100
C. 1.0 X 101
D. 1.0 X 102
11. Un astrónomo quiere calcular la densidad promedio de la materia en una región esférica con un radio de 12 x 107 años luz. El astrónomo conoce que la masa total es de 7.2 x 1042kg y utiliza la fórmula ρ = m/v, donde V = (4/3)πr3. A continuación se presenta el proceso que siguió:
1. Encuentra que un año luz es aproximadamente 9.46 x 10 12km.
2. Utiliza el resultado anterior y calcula el volumen: V= (4/3)π(12 x 107)3 = 2.304 x 1024 años luz3
4. Calcula la densidad: ρ= (7.2 x 1042)/(2.304 x 1024) = 3.125 x 1022kg/años luz 3
¿Cuál es el error?
A. El astrónomo calculó mal el volumen y debió obtener un valor mayor.
B. El astrónomo usó incorrectamente las unidades de longitud en el paso 3.
C. En el paso tres el astrónomo realizó incorrectamente el cociente entre las potencias en base 10.
D. No hay ningún error.