Números irracionales

¿Cómo surgen los números irracionales?

Se dice que el conjunto de los números irracionales fue descubierto al intentar calcular la diagonal de un cuadrado con un lado de longitud 1. Al trazar esta diagonal en el cuadrado JCBA, se forman dos triángulos congruentes. Si tomamos uno de estos triángulos, el CBA, y dibujamos polígonos regulares en cada uno de sus catetos, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa, que es la diagonal del cuadrado. Al realizar este cálculo, se descubre que la longitud de la diagonal, es decir, la raíz cuadrada de 2, no puede representarse como un número entero, un decimal periódico, ni como un número racional.

Para probarlo, notemos que el cateto a₁= 1 y b₁= 1, de modo que A₁=1 y A₂=1, por lo tanto, al usar el teorema de Pitágoras: A₁ + A₂= A₃, se tiene que A₃=2. Teniendo en cuenta que A₃ = b² y que A₃ =2, tenemos la expresión: 2=b². Por último, para calcular el valor de la diagonal "b", se aplica la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad, obteniendo que: b = √2 , justamente el número irracional mencionado líneas atrás.

Nota: El teorema de Pitágoras establece que la suma de las áreas de los polígonos regulares construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del polígono regular construido sobre la hipotenusa del triángulo. A continuación, se aprecian dos imágenes que lo ilustran:

Pentágonos

Hexágonos

En consecuencia a lo anterior, los irracionales son números que no pueden representarse como el cociente entre dos números enteros. En este sentido, podemos decir que todos los números decimales infinitos no periódicos pertenecen al conjunto de los irracionales "I", por ejemplo:

Sumado a lo anterior, las raíces inexactas también pertenecen al conjunto de los números irracionales, tales como:

Una pregunta que podemos hacernos es:

¿Cuáles son algunos de los números irracionales más utilizados

• π (Pi)

Valor aproximado: 3.14159...
Descripción: π es probablemente el número irracional más conocido. Representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. π aparece en muchas fórmulas matemáticas y físicas, especialmente en aquellas que involucran geometría y trigonometría.

• √2 (Raíz cuadrada de 2)

Valor aproximado: 1.41421...
Descripción: √2 es el número que surge al calcular la diagonal de un cuadrado con lados de longitud 1. Es el primer número irracional descubierto y es fundamental en geometría, especialmente en el teorema de Pitágoras.

• φ (Proporción áurea)

Valor aproximado: 1.61803...
Descripción: La proporción áurea, φ, aparece en la naturaleza, el arte, y la arquitectura. Se define como el número irracional que se obtiene al dividir una línea en dos partes de tal manera que la relación entre la parte mayor y la menor sea la misma que la relación entre la línea completa y la parte mayor.

• “e” (Número de Euler)

Valor aproximado: 2.71828...
Descripción: El número “e” es la base de los logaritmos naturales y es crucial en el cálculo, especialmente en procesos de crecimiento exponencial y en la teoría de probabilidades. Aparece en fórmulas que describen fenómenos como el interés compuesto y las ecuaciones diferenciales.

Después de todo lo anterior, otra pregunta que podemos formularnos es:

¿Por qué son importantes los números irracionales?

Imagina que estás en una pista de atletismo corriendo alrededor de un círculo. Si quieres saber cuánta distancia has corrido, necesitarás calcular el perímetro de ese círculo. Aquí es donde "𝜋" entra en acción, pues esta es una constante que te ayuda a calcular el perímetro o el arco de cualquier círculo, ¡y sin ella, estarías perdido!

¿Alguna vez has visto la belleza de un caracol o una flor? Muchas de esas formas naturales siguen patrones que involucran números irracionales como la proporción áurea, que es aproximadamente 1.618… Este número es tan especial que los artistas y arquitectos lo han usado durante siglos para crear cosas que nos parecen increíblemente bellas. Te invito a profundizar más sobre este tema.

Otra situación en la que puedes ver los números irracionales en acción; es la cocina, toma una tapa de frasco y mídela. Usa una cuerda para medir el borde y luego el diámetro (la distancia de un lado al otro pasando por el centro). Divide el largo del borde por el diámetro. ¿Qué obtienes? ¡Sí, algo muy cercano a 3.14, o sea, 𝜋! Esto demuestra cómo 𝜋 está presente en cosas tan simples como una tapa de frasco.

Sin los números irracionales, todo en nuestro mundo sería un poco menos preciso, un poco menos armonioso. Aunque no siempre los veamos, los números irracionales están en todas partes, como un hilo invisible que conecta la naturaleza, la ciencia y la tecnología.

Actividad N°1

Aprendizajes:

• Identificar números irracionales y diferenciarlos de los racionales.

Juego 1

Instrucciones: El juego consiste en clasificar los números racionales e irracionales en sus respectivos conjuntos. El jugador tiene 30 segundos para completar la tarea, debiendo ubicar todos los números antes de que el tiempo se agote. Por cada acierto, el jugador gana 5 segundos adicionales, pero por cada error, pierde 10 segundos. El juego termina cuando el tiempo llega a cero.

Juego: "Racionales vs Irracionales: ¡La Batalla de los Dados!"

Objetivo: Los estudiantes competirán por puntos seleccionando correctamente números racionales e irracionales después de lanzar un dado. ¡El equipo con más puntos al final del juego ganará un premio especial!

Cómo jugar:

División en equipos: Divide a los 19 estudiantes en dos equipos, uno llamado "Racionales" y el otro "Irracionales". Si hay un número impar de jugadores, uno de los equipos puede tener un jugador adicional o ese jugador puede ser el árbitro asistente.

Ronda de lanzamiento:

• Se elige al azar el equipo y el estudiante que lanzará por primera vez el dado.
• Si el dado muestra un número par, el jugador del equipo "Racionales" deberá presionar el botón "Racional" y elegir un número de la tabla que pertenezca al conjunto de los números racionales.
• Si el dado muestra un número impar, el jugador del equipo "Irracionales" deberá presionar el botón "Irracional" y seleccionar un número correspondiente a este conjunto.

Validación:

• Si el jugador selecciona correctamente, el borde del número se pondrá verde y el equipo ganará un punto.
• Si el jugador se equivoca, el borde del número se tornará rojo y el equipo perderá un punto.
• ¡El equipo contrario tiene la oportunidad de "robar" el turno y ganar puntos si detecta un error y corrige la elección rápidamente!

Rondas adicionales:

• Después de cada ronda, otro estudiante de cada equipo lanzará el dado, y se repetirá el proceso.
• El juego continúa hasta que todos los estudiantes hayan tenido su turno, o hasta que un equipo llegue a un puntaje preestablecido, como 10 puntos.

Desempate:

• En caso de empate al final del juego, se hará una "Ronda de Supervivencia". Un estudiante de cada equipo lanzará el dado, y el primero que seleccione correctamente un número gana el punto decisivo para su equipo.

• Premiación:

• El equipo con más puntos al final del juego será declarado "Maestro de los Números".

Ingrese al siguiente par de recursos y continue practicando la identificación de números irracionales

Aprendizajes:

• Usar el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un rectángulo.

1. Calcule la diagonal de cada rectángulo realizando la construcción geométrica mencionada líneas atrás.

2. Hallar el área A₂ en cada caso.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

3. Considerando que los polígonos FEDA, HAIB, BDLK son cuadrados. Encuentre en los dos primeros ejercicios la longitud del segmento BD y en los ejercicios 3 y 4 la longitud del segmento AB.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Actividad N°2

Aprendizajes:

• Identificar números irracionales y diferenciarlos de los racionales.

1. Resuelve las siguientes actividades y practica lo aprendido.

Aprendizajes:

• Representar números irracionales en la recta numérica.

2. Resuelve la siguiente actividad y practica la ubicación de números irracionales en la recta numérica.

Operaciones entre números irracionales

Juego- Motivación

Aprendizajes:

• Identificar números irracionales y diferenciarlos de los racionales.
• Recordar la suma de los ángulos internos de un triángulo.
• Recordar y resolver ejercicios que involucran la probabilidad simple.

Instrucciones: El juego consiste en localizar las minas que se encuentran ocultas en una cuadrícula de 10x10. Por cada mina descubierta, el equipo obtiene 30 puntos, y en caso contrario, tendrá la oportunidad de ganar 10 puntos si responde correctamente la pregunta publicada. Para iniciar, formen dos grupos y elijan al azar quién inicia.

Las propiedades que estudiaremos a continuación tienen validez únicamente cuando se cumplen las siguientes condiciones:

La primera:

La segunda:

Propiedades de la potenciación y radicación con números irracionales

• Transformar una raíz en una potencia

Utiliza esta propiedad para demostrar la propiedad de la raíz de una potencia.

• Raíz de una potencia

Actividad N°3

Aprendizajes:

• Transforma una raíz en una potencia y si es posible obtiene la raíz de una potencia.

Utilice las dos propiedades anteriores para simplificar los siguientes ejercicios:

• Producto entre raíces con el mismo índice

Utilice la propiedad de transformar una raíz en una potencia y la propiedad del producto de bases iguales y demuestre la siguiente propiedad:

Actividad N°4

Aprendizajes:

• Transforma una raíz en una potencia, aplica la propiedad del producto y si es posible obtiene la raíz de una potencia.
• Calcula el área de figuras planas usando números irracionales y obtiene la expresión más simple.

1. Simplifique las siguientes expresiones

2. Calcule en cada caso el área de color verde, para ello considere que LONM y PQRK son cuadrados.

1)

2)

3)

• Cociente entre raices con el mismo indice

Demuestre esta propiedad transformando las raíces en una potencia, luego aplique la potencia de una potencia, y por último, aplique nuevamente la primera propiedad.

Actividad N°5

Aprendizajes:

• Simplifica el cociente entre dos números irracionales aplicando las propiedades vistas hasta este momento.

Aplique la propiedad del cociente y simplifique cada uno de los siguientes cocientes:

• Potencia de una raíz

Demuestre la siguiente propiedad transformando la raíz en una potencia y luego aplicando la potencia de una potencia.

Actividad N°6

Aprendizajes:

• Simplifica la potencia de un número irracional y encuentra la mínima expresión.

Aplique la propiedad de la potencia y simplifique cada una de las siguientes expresiones:

• Raíz de una raíz

Demuestra esta propiedad transformando la raíz en una potencia y luego aplicando la potencia de una potencia.

Actividad N°7

Aprendizajes:

• Aplica la propiedad de la raíz de una raíz para simplificar expresiones aritméticas.

1. Aplique la propiedad de la raíz de una raíz y simplifique cada una de las siguientes expresiones:

• Introducir un factor al radicando de una raíz

Demuestre la siguiente propiedad transformando la raíz en una potencia, luego aplique la propiedad del producto y por último aplique nuevamente la propiedad del producto.

Actividad N°8

Aprendizajes:

• Aplica las propiedades de la radicación y la potenciación para ingresar un factor al radicando .

Aplique la propiedad anterior e ingrese el factor de la raíz como un radicando.

Actividad N°9

Aprendizajes:

• Aplica el teorema de Pitágoras para resolver situaciones que involucran triángulos rectángulos.
• Aplica el teorema de ángulos opustos por el vertice para encontrar ángulos desconocidos.
• Calcula el área de figuras planas.
• Resuelve situaciones que involucran sustracción y adición de áreas.

2. En los dos primeros ejercicios, encuentre la medida del segmento AB, AD, BD, BE, ED, FD, BG y el área de los triángulos EDF y GEB; y en el último encuentre la medida del segmento BD, BE y ED.

3. Resolver los siguientes ejercicios:

Aprendizajes:

• Simplifica polinomios aritméticos que involucran números irracionales con radicales.

4. Resolver

Aprendizajes:

• Simplifica polinomios aritméticos que involucran números irracionales con radicales.
• Aplica el teorema de Pitágoras para resolver situaciones que involucran triángulos rectángulos.
• Representa números irracionales en la rect numérica .
• Calcula el área de figuras planas.
• Resuelve situaciones que involucran sustracción y adición de áreas.

5. Resolver

Racionalización

Racionalizar una expresión consiste en eliminar del denominador un radical, esto tiene como propósito facilitar el cálculo de expresiones que comparten la forma p/q. A continuación, se contemplarán tres casos en los cuales se racionaliza una expresión:

Caso 1

Para simplificar la siguiente expresión:

Debemos multiplicar el numerador y denominador por el radical que queremos eliminar, de modo que obtenemos el siguiente procedimiento:

Como se puede apreciar en el procedimiento anterior, el objetivo es obtener una expresión donde el exponente sea igual al índice de la raíz, de modo que al aplicar la propiedad que convierte la raíz en exponente, se cancelen el índice y el exponente, veamos :

Actividad N°10

1. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones:

Caso 2

Para simplificar la siguiente expresión:

debemos multiplicar el numerador y denominador por una expresión que tenga la siguiente forma:

Veamos:

Caso 3

Para simplificar la siguiente expresión:

debemos multiplicar el denominador por el conjugado del binomio que allí se encuentra, esto es, multiplicar por la misma expresión y cambiar el signo central. Antes de proseguir veamos algunos ejemplos del conjugado de un binomio:

Teniendo en cuenta la información suministrada en la tabla anterior, al racionalizar la expresión tenemos que:

Logaritmación

¿Qué son los logaritmos?

Imagina que tienes una calculadora mágica que puede responder a una pregunta muy específica: "¿A cuántas veces tengo que multiplicar un número para obtener otro?". Pues bien, esa "calculadora" es, en esencia, lo que hace un logaritmo.

Para ser un poco más precisos, el logaritmo responde a esta pregunta: ¿A qué número debo elevar una base para obtener un cierto resultado? Por ejemplo, si tienes 2³ = 8, el logaritmo de 8 en base 2 es 3. Se escribe así:

En este caso, el 2 es la base, el 8 es el número al que quieres llegar, y el 3 es el logaritmo, porque 2 elevado a 3 es 8. Fácil, ¿verdad?

Actividad N°11

Aprendizajes:

• Comprender que el logaritmo en base "b" de un número "c" representa el exponente al que se debe elevarse "b" para que se obtenga "c".

1. Lee el siguiente cuento y responde las siete preguntas que encontrará al final

El Gran Rescate de los Números Gigantes

Había una vez, en un pequeño pueblo llamado Númerolandia, un lugar donde los números vivían en paz y armonía. Los números grandes y pequeños, los pares y los impares, todos se llevaban bien. Pero un día, algo extraño comenzó a suceder.

Los números comenzaron a crecer de manera descontrolada. El número 2, que siempre había sido pequeño y feliz, de repente se convirtió en 200. El número 3, que amaba saltar de un lado a otro, ahora era tan grande como 3,000,000. Los números seguían creciendo y creciendo, y pronto empezaron a ocupar todo el espacio en Númerolandia. Las casas, los caminos y hasta los árboles desaparecían bajo la inmensidad de estos números gigantes.

Los habitantes de Númerolandia estaban asustados. Si los números seguían creciendo así, pronto no habría lugar para vivir. Necesitaban una solución, ¡y rápido!

En medio de la confusión, apareció un pequeño niño llamado Leo. Leo no era un número, pero había vivido en Númerolandia toda su vida. A Leo le encantaban las matemáticas y siempre estaba resolviendo problemas con sus amigos los números. Cuando vio lo que estaba sucediendo, supo que tenía que hacer algo.

Leo recordó una lección que había aprendido en la escuela sobre algo llamado logaritmos. "Los logaritmos", pensó, "¡son la clave para detener este crecimiento descontrolado!"

Leo corrió al centro de Númerolandia y reunió a todos los números alrededor de él.

—¡Escuchen, amigos! —dijo Leo con voz decidida—. ¡Sé cómo podemos detener este crecimiento! Los logaritmos nos pueden ayudar. Un logaritmo es como una magia especial que puede reducir los números grandes a tamaños más manejables.

Los números lo miraron con curiosidad, pero también con esperanza. Querían volver a su tamaño normal y vivir en paz otra vez.

—Vamos a hacer esto juntos —continuó Leo—. Necesito que todos se concentren y piensen en un número llamado base. Es un número pequeño y tranquilo, como el 10. Ahora, si cada uno de ustedes, números grandes, usa esta base y encuentra su logaritmo, volverán a ser más pequeños.

Los números comenzaron a trabajar con Leo. El número 1,000,000 pensó en el logaritmo en base 10 y, ¡puf!, de repente se convirtió en 6. El número 100,000 hizo lo mismo y se convirtió en 5. Todos los números gigantes siguieron el ejemplo, y pronto Númerolandia volvió a ser un lugar donde había espacio para todos.

Los números celebraron con alegría y agradecieron a Leo por su ingenio y conocimiento. Habían aprendido que, a veces, la solución a un problema grande puede encontrarse en los conceptos matemáticos, y que los logaritmos, aunque parecieran complicados, eran sus nuevos amigos.

Desde ese día, Númerolandia vivió en paz. Los números ya no temían crecer demasiado, porque sabían que con los logaritmos, siempre podían volver a un tamaño seguro. Y Leo se convirtió en un héroe, no solo por salvar a Númerolandia, sino también por enseñar a todos que las matemáticas pueden ser mágicas y poderosas.

Y así, en un pequeño pueblo de números, el conocimiento salvó el día, y todos vivieron felices para siempre.

¡Colorín colorado, este cuento de logaritmos ha terminado!

Resuelve las siguientes preguntas:

1. ¿Qué problema enfrentaban los habitantes de Númerolandia al comienzo del cuento?

A) Los números se estaban volviendo muy pequeños.
B) Los números estaban creciendo de manera descontrolada.
C) Los números habían desaparecido.
D) Los números se estaban duplicando.

2. ¿Qué herramienta matemática utilizó Leo para ayudar a los números gigantes a volver a su tamaño normal?

A) Sumas
B) Multiplicaciones
C) Logaritmos
D) Raíces cuadradas

3. En tus propias palabras, ¿cómo explicó Leo el concepto de logaritmos a los habitantes de Númerolandia?

4. ¿Cuál es la base que Leo sugiere usar en los logaritmos para reducir el tamaño de los números?

A) 2
B) 5
C) 10
D) 100

5. Después de usar los logaritmos, ¿qué les sucedió a los números en Númerolandia?

A) Se hicieron aún más grandes.
B) Volvieron a desaparecer.
C) Se redujeron a un tamaño manejable.
D) Cambiaron de color.

6. ¿Qué lección aprendieron los habitantes de Númerolandia gracias a Leo y su conocimiento de los logaritmos?

7. ¿Cómo te sentirías si vivieras en Númerolandia y tuvieras que lidiar con números que crecen descontroladamente? ¿Qué harías en esa situación?

Actividad N°12

Aprendizajes:

• Comprender que el logaritmo en base "b" de un número "c" representa el exponente al que se debe elevarse "b" para que se obtenga "c".

Esta actividad puede utilizarse como motivación para iniciar la clase. Esta consiste en un karoke de una canción que vincula los conceptos básicos de la logaritmación e introduce las propiedades del producto y el cociente.

¿Por qué son importantes los logaritmos?

Los logaritmos se usan en una variedad increíble de campos, desde la ciencia y la ingeniería hasta la informática y la economía. ¿Alguna vez has oído hablar de la escala Richter que mide la magnitud de los terremotos? Esa escala es logarítmica, lo que significa que un terremoto de magnitud 7 es diez veces más fuerte que uno de magnitud 6.

Además, los logaritmos son fundamentales para resolver ecuaciones exponenciales, que son las que tienen incógnitas en el exponente. Por ejemplo, si quieres saber cuánto tiempo tardará en duplicarse una inversión a un cierto interés compuesto, ¡los logaritmos te ayudarán a descubrirlo!

Propiedades de los logaritmos

Ahora que sabes qué es un logaritmo, veamos algunas de sus propiedades clave. Estas propiedades son como herramientas en una caja de herramientas matemática que te ayudarán a resolver problemas con logaritmos de manera más eficiente.

Propiedad del producto

• Si estás multiplicando dos números dentro de un logaritmo, es lo mismo que sumar los logaritmos de esos números.

Propiedad del cociente

• Si estás dividiendo dos números dentro de un logaritmo, es lo mismo que restar los logaritmos de esos números.

Propiedad de la potencia

Propiedad del cambio de base

• Esta fórmula es útil cuando quieres convertir un logaritmo de una base a otra. Por ejemplo, si estás trabajando con logaritmos en base 2 pero solo tienes una calculadora que hace logaritmos en base 10, esta fórmula te salvará.

Actividad N°13

Aprendizajes:

• Utiliza las propiedades de la logaritmación y la radicación para simplificar polinomios aritméticos.

1. Ingresa al siguiente recurso y resuelve 10 ejercicios en el cuaderno.

2. Simplificar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de la logaritmación:

1. Log₂ 4
2. Log₅ 25
3. Log₆ 36
4. Log₇ 49
5. Log₆ 1296
6 Log₃ 729
7. Log₄ 256
8. Log₂₅₆₈ 1
9. Log₈₅ 1
10.Log₈ 512

3. Simplificar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de la logaritmación:

1. Log₈ (64x16)
2. Log₄ (16x64)
3. Log₇ (49x7)
4. Log₂ (8x4)
5. Log₅ (125x25)
6. Log₉ (81x9)
7. Log₂ (8/4)
8. Log₅ (125/25)
9. Log₄ (64/16)
10. Log₄ (64/16)
12. (6).Log₁₀(1000⁵)
13. (8).Log₅ (5⁶²⁵)
14. (52).Log₃ (81⁶²⁵)
15. (24).Log₆ (6³²)

4. Simplificar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de la logaritmación:

5. Simplificar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de la logaritmación y la radicación:

1. Log₂ (7) + Log₂ (8) - Log₉ (7)
2. Log₃ (9) + Log₃ (27) - Log₃ (3)
3. Log₅ (25) + Log₅ (5) - Log₅ (1)
4. Log₂ (16) + Log₂ (4) - Log₂ (2)
5. Log₄ (64) - Log₄ (16) + Log₄ (4)
6. Log₇ (49) + Log₇ (7) - Log₇ (1)
7. Log₆ (36) + Log₆ (6) - Log₆ (1)
8. Log₂ (32) - Log₂ (8) + Log₂ (4)
9. Log₁₀ (1000) - Log₁₀ (100) + Log₁₀ (10)
10. Log₉ (81) + Log₉ (9) - Log₉ (1)
11. Log₈ (512) - Log₈ (64) + Log₈ (8)