Medidas de tendencia central
Media aritmética o promedio
La media es uno de los valores representativos de la tendencia central de un conjunto de datos y se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el número de datos totales.
Ejemplo:
Mangüirry tiene diez amigos en la clase de matemáticas y desea calcular
el promedio de las edades. Considerando que las edades son : 10, 8, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 12, 10.
Para calcular la media aritmética realizamos el siguiente procedimiento:
El promedio o la media aritmética es 11 años
Mediana
La mediana es otra medida de tendencia central y esta consiste en encontrar el valor que divide al conjunto de datos en dos subconjuntos de igual tamaño. Para encontrar este valor medio, es necesario organizar los datos de menor a mayor o viceversa, y luego identificar el dato o el par de datos que divide al conjunto en dos partes iguales. Sí el número de elementos que componen el conjunto es par, la mediana será el promedio del par de datos que dividen al conjunto en dos partes iguales; y si el número de elementos es impar, la mediana será el valor que divide el conjunto en dos partes iguales.
Ejemplo 1- Número de datos pares
La mediana del conjunto : 2, 3, 5, 4 , 1, 6
Al ordenar los elementos del conjunto se tiene : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Por consiguiente, la mediana será el promedio entre 3 y 4, pues son los datos que dividen al conjunto en dos partes iguales.
La mediana es: 3.5
Ejemplo 1- Número de datos impares
La mediana del conjunto : 3, 5, 4 , 1, 6
Al ordenar los elementos del conjunto se tiene : 2, 3, 4, 5, 6
Por consiguiente, la mediana será el 4, pues es el dato que divide al conjunto en dos partes iguales.
La mediana es: 4
Algunos usos y aplicaciones de la mediana
• Toma de decisiones: La mediana es una herramienta útil para la toma de decisiones en diferentes áreas, como la economía, la salud, la educación y la industria. Por ejemplo, los gerentes de una empresa pueden usar la mediana para tomar decisiones de precios o para determinar los salarios de los empleados en función de los datos de ingresos.
• Reducción de la influencia de valores atípicos: La mediana es menos sensible a los valores extremos (o valores atípicos) que la media, lo que la hace útil en situaciones en las que los datos contienen valores extremos que pueden sesgar la media. Por lo tanto, la mediana es una mejor medida de tendencia central en conjuntos de datos con valores extremos.
• Análisis de datos asimétricos: En conjuntos de datos asimétricos, donde los datos están sesgados hacia un extremo, la mediana es una medida más representativa que la media, ya que la mediana se encuentra en el centro de los datos.
• Distribución de ingresos: La mediana se utiliza para medir la distribución de ingresos en una población o en un conjunto de datos. Por ejemplo, la mediana de ingresos puede indicar cuánto ganan la mitad de los hogares en una ciudad o país.
• Análisis de resultados de pruebas: En el ámbito educativo, la mediana se utiliza para analizar los resultados de las pruebas, especialmente cuando los datos no están distribuidos normalmente. La mediana puede indicar cómo se desempeñó un grupo de estudiantes en una prueba y ayudar a los educadores a identificar fortalezas y debilidades.
Moda
En un conjunto de datos la moda representa el valor que más se repite en un conjunto de datos.
Ejemplo:
Mangüirry tiene diez amigos en la clase de matemáticas y desea calcular
la moda entre las respectivas edades. Considerando que las edades son : 10, 8, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 12, 10,
la moda es: 10 años, justamente el dato que más se repite.
Actividad N°1
Copie en el cuaderno los siguientes puntos y luego ingrese al recurso:
En cada ejercicio
1. Observa la información del gráfico, calcule la media, escriba el procedimiento en el cuaderno y aproxime el resultado.
2. Observa la información del gráfico y escriba en el cuaderno el valor de la frecuencia de la moda.
3. Observe la información del gráfico y escriba en el cuaderno el número que representa la población.
4. Observe la información del gráfico y escriba en el cuaderno el valor que representa la moda.
5. Lea cuidadosamente el enunciado que se encuentra debajo de la gráfica, elija la opción correcta y justifique
su respuesta.
Observe la siguiente imagen, lea las instrucciones y cuando estés list@, haz click en la imagen. En caso
que existan dos o más valores para la moda, usar comas "," para separar los respectivos valores.
Actividad N°2
1. Resuelva el siguiente recurso y practique lo aprendido sobre media, mediana, moda y la noción de la desviación estándar.
2. Ingrese al siguiente simulador y determine la media, la mediana y la moda al lanzar dos, tres, cuatro y 300 dados; una, dos, tres y 300 veces.
Cuartiles
En estadística, el cuartil es una medida de posición que divide los datos en cuatro partes iguales. Los cuartiles se utilizan para entender la distribución de los datos y cómo se agrupan en relación con la media y la mediana.
Para calcular los cuartiles, primero se ordenan los datos de menor a mayor. Luego se dividen en cuatro partes iguales, de tal manera que el primer cuartil (Q1) es el valor que deja a un cuarto de los datos por debajo, el segundo cuartil (Q2) es la mediana y el tercer cuartil (Q3) es el valor que deja a un cuarto de los datos por encima. Es decir, el primer cuartil representa que el 25% de los datos están por debajo de Q1 y el 75% están por encima, el segundo cuartil representa que el 50% de los datos están por debajo y por encima de Q2, y el cuartil tres representa que el 75% de los datos están por debajo de Q3 y el 25% están por encima de Q3.
Ejemplo: Consideremos que tenemos los siguientes datos no agrupados y deseamos calcular los cuartiles de: 3, 2, 4, 3, 2. Lo primero que debe hacerse es ordenar los datos de menor a mayor: 2, 2, 3, 3 ,4; luego hallamos la mediana y con ella el cuartil número dos o "Q2". Considerando que en este caso el número de datos es impar, la mediana será el número que divide al conjunto en dos iguales, tal y como sucede con el número "3". Hecho lo anterior, el primer cuartil puede obtenerse al promediar los dos números que están por debajo de la mediana (2+2)/2 = 2, obetnidendo que Q1 es dos. Otra forma de hacerlo cuando el número de datos es impar, es usando la siguiente ecuación que determina la posición del cuartil:
• k Represnta el cuartil a calcular.
• n Represnta el número de datos.
Aplicando la expresión anterior se tiene que n=5 y k=1 para Q1
Cuando el resultado de la posición es un número entero con un décimal como sucedió anteriormente, se realiza
el siguiente procedimiento:
• Se toma el décimal "0.5" y se multiplica por la diferencia entre el dato que
tiene la posición determinada por el número entero "1", el cual es "2",
y el número que está después, el cual es "3". La expresión sería 0.5*(4-3) = 0.5
• Finalmente, se suma el valor anterior "0.5" con la posición encontrada para Q1 que fue 1.5.
De modo que tenemos que la posición de Q1 = 0.5 +1.5 = 2. Por tanto Q1 es igual a 2.
Para hallar el cuartil tres se realiza el mismo procedimiento y Q3 = 3.5
De lo anterior se puede concluir que:
• El 25% de los datos son iguales o menores que 2.
• El 75% de los datos iguales o mayores a 2
• La mediana es 3.
• El 25% de los datos son iguales o mayores que 3.5.
• El 75% de los datos son iguales o menores a 3.5
Los cuartiles son especialmente útiles para identificar la presencia de valores atípicos (outliers) en los datos, ya que estos pueden afectar significativamente los cálculos estadísticos. Por ejemplo, si los datos están muy dispersos, los valores atípicos pueden hacer que la media sea mucho más grande o pequeña que la mediana.
A continuación se presentan algunos ejemplos cotidianos donde se puede aplicar el concepto de cuartil:
• En una clase de matemáticas, el profesor asignó una tarea a sus estudiantes y registró las calificaciones en una tabla. Si el primer cuartil de las calificaciones fue de 65, esto significa que el 25% de los estudiantes obtuvo una calificación inferior a 65.
• En un estudio de salarios, se registraron los salarios de una empresa y se calculó el cuartil superior. Si el resultado fue de $70,000, esto significa que el 25% de los empleados ganan más de $70,000.
• En un estudio de la altura de los estudiantes de una escuela, se calculó el primer cuartil para las chicas y se obtuvo un resultado de 1.50 metros. Esto significa que el 25% de las chicas miden menos de 1.50 metros.
• En un estudio de la duración del sueño de los niños, se registraron los tiempos en minutos y se calculó el tercer cuartil para los niños de 7 años. Si el resultado fue de 600 minutos, esto significa que el 75% de los niños de 7 años duermen menos de 600 minutos.
• En una prueba de aptitud, se registraron las puntuaciones y se calculó la mediana y los cuartiles. Si la mediana fue de 80 y el tercer cuartil fue de 90, esto significa que el 50% de los participantes obtuvieron una puntuación de 80 o menos y el 75% obtuvieron una puntuación de 90 o menos.
Aplicaciones de los cuartiles para analizar el rendimiento académico de los estudiantes
Para empezar, el estudiante debe reunir todas sus calificaciones de la clase en cuestión y ordenarlas de menor a mayor. Luego, puede calcular los tres cuartiles, que dividen las calificaciones en cuatro partes iguales. El primer cuartil (Q1) representa el 25% más bajo de las calificaciones, el segundo cuartil (Q2) representa el 50% intermedio de las calificaciones (también conocido como la mediana) y el tercer cuartil (Q3) representa el 25% más alto de las calificaciones.
Una vez que se tienen estos valores, el estudiante puede analizar su desempeño en la clase. Si las calificaciones del estudiante están por encima del tercer cuartil (Q3), eso significa que está en el 25% superior de la clase y tiene un excelente desempeño. Si sus calificaciones están entre el segundo cuartil (Q2) y el tercer cuartil (Q3), eso significa que está en el 50% intermedio de la clase y tiene un desempeño promedio. Si sus calificaciones están por debajo del primer cuartil (Q1), eso significa que está en el 25% inferior de la clase y tiene un desempeño deficiente.
Además, el estudiante puede comparar su desempeño con el de la clase en general. Si las calificaciones del estudiante están por encima del tercer cuartil de la clase en su conjunto, eso significa que está en el 25% superior de la clase y tiene un desempeño excepcional en comparación con sus compañeros. Si sus calificaciones están entre el segundo y tercer cuartil de la clase en conjunto, eso significa que está en el 50% intermedio de la clase y tiene un desempeño promedio en comparación con sus compañeros. Si sus calificaciones están por debajo del primer cuartil de la clase en conjunto, eso significa que está en el 25% inferior de la clase y tiene un desempeño deficiente en comparación con sus compañeros.
Actividad N°3
Resuelva los siguientes recursos y practica lo aprendido sobre media, mediana, moda y cuartiles.