¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una expresión matemática que está compuesta por una incógnita y un signo "=" igual. Generalmente las incógnitas suelen representarse con la letra "x", aunque es posible usar cualquier letra para este propósito.

¿Cómo determinar el grado de una ecuación?

El grado de una ecuación está representado por el exponente de mayor valor que tiene la incógnita. De este modo :
• x + 2 = 0 Es una ecuación de primer grado, en consideración que el mayor exponente de la incógnita es igual a uno.
• x² + x + 2 = 0 Es una ecuación de segundo grado, pues el exponente de "x" es "2".
• x³ + x² + 2x + 2 = 0 Es una ecuación de tercer grado, pues el exponente de "x" es "3".
• x⁴ + x³ + 2x² + x + 2 = 0 Es una ecuación de cuarto grado, pues el exponente de "x" es "4".

¿Qué debe tenerse en cuenta para despejar una incógnita de una ecuación?

Para despejar ecuaciones es necesario recordar y aplicar las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa del producto: ab = ba
Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)
Propiedad asociativa del producto: (ab)c = a(bc)
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: a(b + c) = ab + ac
Propiedad distributiva de la resta respecto a la multiplicación: a(b - c) = ab - ac
Propiedad de la identidad de la suma: a + 0 = a
Propiedad de la identidad del producto: a x 1 = a
Propiedad del inverso aditiva: a + (-a) = 0
Propiedad del inverso multiplicativa: a x 1/a = 1, a ≠ 0
Propiedad uniforme: si a = b, entonces
• a+c = b+c
• a-c = b-c
• axc = bxc
• a ÷ c = b ÷ c
• √a = √b
• aⁿ = bⁿ
Propiedad de la simetría: si a = b, entonces b = a
Propiedad de la transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c
Propiedad de la reflexividad: a = a

¿Cuándo una ecuación tiene única solución?

Una ecuación tiene única solución, si al despejar la incógnita se obtiene del lado opuesto una constante, por ejemplo, al despejar "x" de la ecuación 3x + 2 = 2, se obtiene como resultado "x=0". A continuación se puede apreciar el procedimiento utilizado para despejar la incógnita "x":

Actividad N°1

Aprendizajes:

• Plantear y resolver ecuaciones aditivas usando números naturales.
• Plantear y resolver ecuaciones aditivas que involucran números fraccionarios.

Resolver cada uno de los siguientes problemas considerando los pasos de solución, plantear la ecuación y resolverla.

1. María compró 30 manzanas el lunes y el martes compró algunas más. Si al final tenía 50 manzanas, ¿cuántas compró el martes?
2. Ana tiene 4 años más que su hermano Juan. Si Juan tiene 8 años, ¿cuántos años tiene Ana?
3. Julia tiene 3 años más que su primo Eric. Si Eric tiene 14 años, ¿cuántos años tiene Julia?
4. Sandra estudió 3 horas el viernes y algunas horas más el sábado. Si en total estudió 10 horas esos dos días, ¿cuántas horas estudió el sábado?
5. Mangüirry compró un cómic por 12000 pesos y recibió un cambio de 38000 pesos. ¿Cuál fue el billete con el cual pagó Mangüirry?
6. Luis repartió 200 volantes en la mañana y más volantes en la tarde. Si al final del día había repartido 320 volantes, ¿cuántos volantes repartió en la tarde?
7. Ana estudió 3/4 de hora en la mañana y 1/2 de hora en la tarde. Sí más tarde estudio un tiempo adicional y en total estudió 2 horas, ¿cuánto tiempo adicional estudio?
8. En una fiesta se consumió durante la primera hora 2/5 de litro de la bebida. Durante la segunda hora se consumió 1/4 de litro. Sí quedan 15 litros, ¿cuántos había originalmente?

Aprendizajes:

• Resolver situaciones problema aplicando la propiedad transitiva.

1. Si Pedro tiene la misma edad que María, y María tiene la misma edad que Luis, ¿cuántos años tiene Pedro si Luis tiene 28 años?
2. En una balanza, el peso de una manzana es igual al peso de una naranja. Si una naranja pesa lo mismo que una pera y una pera pesa 150 gramos, ¿cuánto pesa una manzana?
3. Si el recorrido de Ana hasta el trabajo es igual al recorrido de su amiga Bea desde su casa hasta el mismo trabajo, y Bea recorre lo mismo que Carlos desde su casa hasta el parque, que son 5 km, ¿cuánto recorre Ana hasta el trabajo?
4. Si un electrodoméstico A consume la misma cantidad de energía que el electrodoméstico B, y el electrodoméstico B consume tanta energía como el electrodoméstico C, que consume 300 kWh, ¿cuánta energía consume el electrodoméstico A?
5. En tres recipientes, la temperatura del agua en el recipiente X es igual a la del recipiente Y. Si la temperatura del agua en el recipiente Y es la misma que en el recipiente Z, y en el recipiente Z es de 75 grados Celsius, ¿cuál es la temperatura del agua en el recipiente X?

Actividad N°2

Aprendizajes:

• Resolver ecuaciones aditivas usando números naturales.

1.Encuentre el valor de "x" en las siguientes ecuaciones con números enteros.

Aprendizajes:

• Modelar situaciones problema que involucran la suma de números naturales.

2.Resuelva los siguientes problemas aplicando lo aprendido sobre las ecuaciones aditivas con números naturales:

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Actividad N°3

Aprendizajes:

• Resolver ecuaciones multiplicativas que involucran números racionales.

1. Encuentre el valor de "x" en las siguientes ecuaciones multiplicativas con números racionales.

Aprendizajes:

• Modelar y resolver situaciones problema mediante el uso de ecuaciones.

2. Resuelva los siguientes problemas considerando:

• Planteamiento: Escriba los datos importantes del problema.
• Análisis: Construya la ecuación.
• Solución: Despeje la incógnita usando la propiedad uniforme. Puede usar el esquema de la balanza.
• Respuesta: Escriba una respuesta contextualizada del problema.

a. Laura tardó tres veces más tiempo en terminar su tarea de matemáticas que en leer un libro. Si Laura tardó 45 minutos en terminar la tarea, ¿cuánto tiempo le tomó leer el libro?

b. El jardín de la casa de Ana es rectangular y el largo es cinco veces el ancho. Si el ancho del jardín es de 6 metros, ¿cuál es la longitud del jardín?

c. El peso de la mochila de Pedro es cuatro veces el peso de su estuche. Si el estuche pesa 2 kg, ¿cuánto pesa la mochila?

d. Una botella de jugo tiene tres veces el volumen de un vaso. Si el vaso contiene 250 ml de jugo, ¿cuánto jugo contiene la botella?

e. Luis corrió una distancia que es tres veces la distancia que corrió María. Si María corrió 1/4 de kilómetro, ¿cuántos kilómetros corrió Luis?

f. Una manzana pesa la mitad del peso de una naranja. Si una naranja pesa 3/2kg, ¿cuánto pesa la manzana?

g. Una botella de agua contiene el doble del volumen de una taza. Si la taza contiene 2/3 de litro, ¿cuántos litros contiene la botella?

h. El largo de una cuerda es cinco veces la longitud de una pieza más pequeña. Si la pieza más pequeña mide 1/5 de metro, ¿cuál es la longitud de la cuerda?

i. El dinero que tiene Paula es cuatro veces el dinero que tiene su hermana. Si su hermana tiene 1/8 de euro, ¿cuánto dinero tiene Paula?

Aprendizajes:

• Resolver situaciones problema que involucran ecuaciones multiplicativas con números enteros.

2.Resuelva los siguientes problemas aplicando lo aprendido sobre las ecuaciones multiplicativas con números enteros:

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Actividad N°4

Aprendizajes:

• Resolver ecuaciones aditivas y multiplicativas con números racionales.

1. Encuentre el valor de "x" aplicando lo aprendido en las ecuaciones aditivas y multiplicativas con números racionales.

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¿Cuándo una ecuación tiene infinitas soluciones?

Una ecuación tiene infinitas soluciones cuando al simplificarla, se obtienen dos expresiones idénticas en cada lado del signo igualdad, por ejemplo, al simplificar : 2(3x + 2) = 6x + 4 se tiene que:

Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, la ecuación se satisface para cualquier valor de "x", de modo que tenemos una ecuación lineal con infinitas soluciones.

Actividad N°5

1. Ingrese al siguiente recurso y encuentre el valor de "x" resolviendo ecuaciones racionales. Este insumo didáctico está compuesto por trece ejercicios con nivel de complejidad creciente, de modo que al completar el respectivo puntaje, saldrá un mensaje de felicitaciones y se reiniciará la aplicación para empezar y practicar nuevamente.

Actividad N°6

Antes de resolver los siguientes problemas que involucran ecuaciones con números racionales, puedes apoyarte en el siguiente video tutorial para afianzar conceptos:

1. La altura de un rectángulo es la cuarta parte de la base y su área es 400cm². ¿Cuánto mide la base y la altura en m?
2. La altura de un triángulo es la mitad de su base y su área es 200cm². ¿Cuánto mide la base y la altura en m?
3. La medida de la diagonal menor de un rombo es "x" y de la diagonal mayor es 4. ¿Cuánto mide la diagonal menor si el rombo tiene un área de 6m²?
4. La medida de la diagonal mayor de un rombo es "x" y de la diagonal mayor es 12. ¿Cuánto mide la diagonal mayor si el rombo tiene un área de 96m²?
5. La base de un rectángulo es dos quintos de su altura y su área es 5. ¿Cuánto mide la base y la altura del rectángulo?
6. Mangüirry eleva una cometa y suelta 20 metros de cuerda. Considerando que la distancia horizontal que separa a Mangüirry de la cometa es 10m, ¿Cuál es la altura de la cometa?
7. Mangüirry y un compañero de la universidad rentan un cuarto y se les ocurre dividirlo con una cortina atada en dos extremos no consecutivos. Teniendo en cuenta que el largo del cuarto mide 6m y la cortina √45m, ¿Cuánto mide el ancho?
8. Mangüirry gasta 1/3 y 1/8 de lo que tenía y le quedan 42900 pesos. ¿Cuánto dinero tenía? (R/ 79200 pesos)
9. Un tendero lleva un tarro de dulce y en el camino regala 2/5 de la mercancía. Decide volver para agregar al tarro 30 dulces más, completando 6/8 de la cantidad inicial ¿Cuántos dulces tenía al principio? (R/200 dulces)
10. Una panadería tenía una cierta cantidad de baguettes. Después de vender 1/2 de sus baguettes, el panadero hornea 45 baguettes más, lo que hace que tenga 5/9 de la cantidad inicial. ¿Cuántos baguettes tenía al principio?(R/810 baguettes)

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