Conjuntos

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección de cosas, personas, animales; en general una colección de elementos que están perfectamente definidos dentro de una categoría o característica que facilita inequivocamente la identificación de un elemento que pertenece o no al conjunto. En este orden de ideas, podemos decir que el conjunto «A» conformado por los números pares, tiene como elementos todos los números que son divisibles por dos, donde la división exacta entre dos representa la característica o categoría que comparten los elementos del conjunto. De la misma manera, las ciudades de Colombia, las capitales de Colombia, los animales vertebrados, los animales invertebrados, entre otras, representan algunas categorías que caracterizan colecciones de elementos perfectamente definidos.

Un caso donde los elementos de una colección no están perfectamente definidos, puede ser el conjunto constituido por las películas interesantes que tiene el padre de nuestro mejor amigo, o por los tenis deportivos que tiene nuestro artista favorito; pues en dichas colecciones es imposible o muy difícil determinar los elementos que pertenecen o no a cada una de las colecciones.

Actividad Nº 1

Resuelve las siguientes actividades identificando los enunciados que cumplen y no cumplen con la definición de conjunto

Actividad Nº 2

• Propósito: Aplicar el concepto de conjunto.
• Momento de la clase: Motivación. Ideal para iniciar la clase.
• Compatibilidad con el navegador: Funciona mejor en Edge. Importante que los navegadores estén actualizados.
• Compatibilidad en el dispositivo: Funciona mejor en P.C.

1. Utiliza la definición de conjunto para formar en cada uno de los siguientes test dos conjuntos con los elementos dados.

Representación de un conjunto

Un conjunto puede representarse de tres maneras diferentes:

Representación gráfica o mediante diagramas de Venn

Un conjunto puede representarse gráficamente utilizando óvalos que reciben el nombre de diagramas de Venn, por consiguiente el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} está representado en la siguiente imagen como un óvalo de color amarillo :

En la imagen anterior el conjunto universal es aquel que contiene a «A», y en este caso está conformado por los números naturales. Vale la pena aclarar que este conjunto puede variar dependiendo del problema planteado. El conjunto universal puede definirse como el conjunto que contiene a todos los posibles subconjuntos de «A».

Representación por comprensión

Para representar un conjunto por comprensión, es necesario identificar la categoría o característica que comparten los elementos del respectivo conjunto, en el caso de A= {2, 4, 6, 8, 10}, la categoría podría definirse como los números pares mayores o iguales a dos y menores o iguales a diez. En este orden de ideas, el conjunto «A» escrito por comprensión sería:

A={x/x son los números mayores o iguales a dos y menores o iguales a diez}

Otra manera de escribir por comprensión el mismo conjunto «A» es:

A={ x/ 10 ≥ x ≥ 2 }

Actividad Nº 1

Ingresa al siguiente recurso y practica la representación por comprensión de un conjunto.

Representación por extensión

Para escribir un conjunto por extensión, basta con listar los elementos que componen el conjunto, en el caso de «A»tenemos que :

A={2, 4, 6, 8, 10}

Actividad Nº 2

Competencia

• Comunicación.

Aprendizaje esperado

• Reconocer la representación de un conjunto por comprensión y extensión.

Clases de conjuntos

Conjuntos finitos

Un conjunto es finito cuando es posible determinar el número de elementos que lo conforman, por ejemplo: el número de balones que hay en una bolsa, el número de frijoles que hay en una libra, la cantidad de canicas que tiene mi mejor amigo, el número de cuadernos que tengo en la maleta, el número de granos de arena que hay en la tierra, entre otros.

Conjuntos infinitos

Un conjunto es infinito cuando no es posible determinar el número de elementos que lo conforman, por ejemplo: la cantidad de números pares, la cantidad de números impares, la cantidad de números que terminan en cinco, entre otros.

Conjunto vacio

Un conjunto vacio se caracteriza por no tener elementos y estar contenido en cualquier conjunto.:

Conjunto unitario

Un conjunto unitario se caracteriza por contener un solo elemento, por ejmplo: los números primos que son pares, entre otros.

Producto cartesiano

El producto cartesiano se define como el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con los elementos de dos conjuntos. El producto cartesiano entre los conjuntos "A" y "B" se representa como : A X B, de modo que el conjunto resultante serán todas las parejas que pueden formarse entre los elementos de "A" con los elementos de "B", de esta manera B X A será el conjunto de todas las parejas que pueden formarse entre los elementos de "B" con los elementos de "A". Como puede apreciarse, el conjunto resultante dependerá del orden establecido, por consiguiente: si B = {1, 2, 3} y A = {a, b, c, d, e}, los productos cartesianos posibles son:

B X A ={ (1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (1, e), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (2, e), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d), (3, e) }

el producto cartesiano B X A puede representarse graficamente usando un plano cartesiano, para ello estableceremos que la primera componente de cada par ordenado irá en el eje horizontal y la segunda componente en el eje vertical. De esta manera tenemos que :

Por otro lado tenemos que el producto cartesiano A X B es:

A X B ={ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3), (e, 1), (e, 2), (e, 3) }

y la representación en el plano cartesiano es:

Actividad Nº 1

1. Mangüirry tiene cuatro pares de zapatos, y desea combinarlos con tres camisas que le regaló su mejor amigo. Ayuda a Mangüirry a encontrar las combinaciones posibles que puede formar entre los cuatro pares de zapatos y las tres camisetas.

2. Mangüirry tiene un almacen de ropa y en el estante de exibición tiene dos espacios para poner pantalones y camisillas. Considerando que cada día debe combinar uno de los dos pantalones con una de las cuatro camisillas, y que no puede poner el segundo pantalón hasta agotar las combinaciones posibles con las camisetas. ¿Cuántos días deben transcurrir para que se repita el ciclo? ¿Cuáles serían las combinaciones posibles?¿Sería correcto afirmar que Mangüirry debe calcular el producto cartesiano : Camisillas X Pantalones? Explique su respuesta.

3. Represente los siguientes pares ordenados en un plano cartesiano y determine la figura que configuran.
(1,8), (1,7), (1,6), (1,5), (1,4), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (5,4), (4,4), (3,4), (2,4), (2,5), (2,6), (3,6), (4,6), (4,7), (3,7), (2,7), (2,8), (2,9), (3,9), (4,9), (5,9), (5,10), (4,10), (3,10), (2,10), (1,10),(1,9)

4. Ingrese al siguiente recurso y continúe practicando sobre el producto cartesiano.

Actividad Nº 2

1. Represente por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos de ángulos y excluye el ángulo de "0º" de los dos primeros conjuntos.

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

Imagen 4

Recuerda que para representar por comprensión cada uno de los conjuntos anteriores, es necesario identificar una característica o propiedad que compartan todos los elementos de cada conjunto. Para corroborar tus respuestas ingresa al siguiente test:

2. Dibuje tres triángulos diferentes, mida con el transportador cada uno de los ángulos internos, sumélos y concluya.

Cardinalidad de los conjuntos numéricos

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales se representa con la letra «N» y está conformado por los números positivos y el cero. Este conjunto es infinito y sus elementos son muy útiles en nuestra cotidianidad para contar, enumerar objetos, determinar distancias, entre muchas cosas más.

Por extensión el conjunto natural puede expresarse de la siguiente manera:

N={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Infinito positivo}

Conjunto de los números enteros

Por otra parte, el conjunto de los números enteros se representa con la letra «Z» y está conformado por la unión del conjunto de los naturales y los números signados (Números negativos).

Así pues, el conjunto de los enteros también es infinito y se puede representar por extensión de la siguiente manera:

Z = { Infinito negativo… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… Infinito positivo}

Te invitamos a ver el siguiente video y apreciar con más detalle la caracterización del conjunto númerico de los enteros:

Entre el conjunto de los números naturales y los números enteros ¿Cuál conjunto tiene la mayor cantidad de elementos o cuál tiene el infinto más grande?

Operaciones básicas entre conjuntos

Unión

La unión entre dos o más conjuntos consiste en reunir en uno solo los elementos de cada uno. Al representar dicha unión a través de diagrmas de Venn o por extensión, solo deben representarse una vez los elementos que tienen en común. En este orden de ideas, si definimos los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y B = {9, 10, 11, 12, 13, 14}, podemos afirmar que: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Graficamente la unión puede representarse a través de diagramas de Venn y sombreando del mismo color los dos conjuntos tal y como se aprecia a continuación:

Veamos otro ejemplo:
Supongamos que tenemos los conjuntos D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y P = {9, 8, 11, 12, 2, 14}, de modo que D ∪ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14}. Teniendo en cuenta que en esta oportunidad los conjuntos tienen elementos comunes, los diagrmas se dibujan de tal modo que en el centro o en la intersección se ubican los elementos compartidos. En este caso la unión se representa sombreando ambos diagramas del mismo color.

Finalmente vale a clarar que el resultado de esta operación no depende del orden en el cual se ejecuta, por lo tanto, D ∪ P = P ∪ D

Intersección

La intersección entre dos o más conjuntos está determinada por los elementos comunes entre ellos, de modo que en los conjuntos:

La intersección está determinada por el conjunto: D ∩ P = {2, 8 }. Graficamente el resultado anterior puede representarse de la siguiente manera:

Como puede apreciarse en la gráfica anterior, la intersección entre los conjuntos P y D está representada por la región de color naranja. Un aspecto tan importante como el anterior, es cosiderar que el resultado de esta operación no depende del orden en el cual se ejecute:
D ∩ P = P ∩ D

Diferencia

La diferencia entre dos conjuntos está determinada por los elementos que están en un conjunto y no están en el otro. En esta operación es muy importante considerar el orden como se representa la diferencia, pues no es lo mismo tener "D - P" que "P - D" . Para evidenciar el hecho mencionado anteriormente, consideremos los conjuntos: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y P = {9, 8, 11, 12, 2, 14} y calculemos "D - P". Iniciemos considerando el orden dado, el cual representa en este caso los elementos que están en "D" y no están en "P", por lo tanto,
D - P = {1, 3, 4, 5, 6, 7}. Graficamente puede representarse como:

Como puede apreciarse en la gráfica anterior, D - P está representada por la región de color azul.

En el caso inverso donde se tiene "P - D", se hace referencia a los elementos que están en "P" y no están en "D", de modo que P - D = {9, 11, 12, 14}. Graficamente puede representarse como:

Como puede apreciarse en la gráfica anterior, D - P está representada por la región de color marrón.

Actividad Nº 1

Resuelve las siguientes actividades aplicando lo aprendido sobre conjuntos y sus operaciones básicas.

Actividad Nº 2

Practica lo aprendido y resuelve el siguiente recurso.

Actividad Nº 3

Aplica lo aprendido sobre las operaciones entre conjuntos y resuelve los problemas de cada test.