Área de figuras planas.
El área es la medida de la superficie de una figura plana. Para cuantificar dicha superficie se compara su extensión con el área de otra figura que se denomina patrón, tal y como se puede apreciar en el siguiente gráfico:
En este orden de ideas, se medirá la superficie del cuadrado de la izquierda sobreponiendo la superficie del patrón hasta cubrirla completamente como se aprecia a continuación:
De este modo es posible decir que el área de la superficie de interés es equivalente a 25 veces la unidad patrón o 25■. Como se puede apreciar, el proceso de medir está relacionado con la acción de comparar dos propiedades de la misma naturaleza, en este caso la superficie.
Actividad N°1
Ingresa al siguiente recurso y practica lo aprendido
Medida del área con patrones estándarizados
Considerando que el patrón definido líneas atrás está supeditado a los intereses del investigador, es posible
que en otros contextos este sea considerado como una figura rectángular, triángular,
o una de menor o mayor dimensión que la establecida inicialmente. Lo anterior genera
limitaciones en la comunicación o transferencia de los datos, pues tener
10 veces un cuadrado azul puede ser incomprensible para alguien que
utilice como patrón de medida una figura triángular, hexágonal, rectángular o cualquier figura
que difiera de la inicial. Adicionalmente a lo anterior, la
medida establecida no determina las dimensiones del cuadrado, por lo tanto,
es posible considerar uno más pequeño o más grande, lo cual desvirtua completamente la
medición original.
Es por lo anterior que es necesario establecer un patrón de medida
estándar que sea conocido por la comunidad científica y facilite
la transferencia de los datos. En el
sistema internacional de medida se define el m2
como el patrón estándar para medir una superficie, el cual
representa el área que encierra un cuadrado de lado 1m. Las
expresiones utilizadas para representar la longitud "m" y el área "m2"
reciben el nombre de unidades de medida, de esta manera 10m representan diez
veces la unidad patrón establecida para la longitud, y 10m2 diez veces
el área encerrada por un cuadrado de lado 1m.
Área de un cuadrado
Actividad N°2
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. Encuentre dos maneras diferentes para calcular el área
del cuadrado ABCD. Explique detalladamente cada una.
2. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD?
3. Sí m AB = l
¿Cuánto mide el área del cuadrado ABCD?
4. Sí m AB =10m
¿Cuánto mide el área del cuadrado ABCD?
5. ¿Cuántos cuadritos azules de 1m2 caben dentro del cuadrado anterior?
6. Sí m AB =4m
¿Cuánto mide el área del cuadrado ABCD?
7. ¿Cuántos cuadritos azules de 1m2 caben dentro del cuadrado anterior?
8. ¿Qué sucede con el área del cuadrado ABCD si duplican los lados de la
cuadrícula?
9. ¿Qué sucede con el área del cuadrado ABCD si se triplican los lados de la
cuadrícula?
10. ¿Qué sucede con el área del cuadrado ABCD si se cuadruplican los lados de la
cuadrícula?
11. Identifique dos maneras diferentes para calcular el perímetro
del cuacrado ABCD. Explique detalladamente cada una.
12. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado ABCD?
13. Si m AB =l
¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado ABCD?
14. ¿Qué sucede con el perímetro del cuadrado ABCD si se duplican los lados de la
cuadrícula?
15. ¿Qué sucede con el perímetro del cuadrado ABCD si se triplican los lados de la
cuadrícula?
16. ¿Qué sucede con el perímetro del cuadrado ABCD si se cuadruplican los lados de la
cuadrícula?
17.Dibuje en el cuaderno la siguiente tabla y complétela.
| Lado (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Perímetro (m) | ||||||||
| Área (m2 | ||||||||
| Área/Longitud (m) | ||||||||
| Perímetro/Longitud | ||||||||
| Área/Perímetro (m) |
18. Al revisar los datos de longitud y área, ¿qué recurrencia
encuentra?
19. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos al calcular
la razón entre el área y la longitud?
20. Al revisar los datos de longitud y perímetro, ¿qué recurrencia
encuentra?
21. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos al calcular
la razón entre el perímetro y la longitud ?
22. Al revisar los datos de perímetro y área, ¿qué recurrencia
encuentra?
23. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos al calcular
la razón entre el área y el perímetro ?
24. Dibuje un plano cartesiano en el cuaderno, etiquete el eje
vertical con el perímetro, el horizontal con la longitud y ubique
los valores de la tabla anterior. Al finalizar, dibuje otro plano y repita el procedimiento
ubicando en el eje vertical el área y en el horizontal la longitud, y en otro
plano en el eje vertical el área y en el horizontal el perímetro.
25. Construya una lista de conclusiones y entre ellas una fórmula
general que le permita calcular el área, el perímetro de cualquier
cuadrado y el número de valores mínimos que
deben conocerse para que sean viables
Practica lo aprendido resolviendo problemas de aplicación
Área de un rectángulo
Actividad N°3
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. Encuentre dos maneras diferentes para calcular el área
del rectángulo ABCD. Explique detalladamente cada una.
2. ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo ABCD?
3. Sí m AB = a y
m BC = b
¿Cuánto mide el área del rectángulo ABCD?
4. Sí m AB =10m
¿Cuánto mide el área del rectángulo ABCD?
5. ¿Cuántos cuadritos azules de 1m2 caben dentro del rectángulo anterior?
6. Sí m AB =4m
¿Cuánto mide el área del rectángulo ABCD?
7. ¿Cuántos cuadritos azules de 1m2 caben dentro del rectángulo anterior?
8. ¿Qué sucede con el área del rectángulo ABCD si duplican los lados de la
cuadrícula?
9. ¿Qué sucede con el área del rectángulo ABCD si se triplican los lados de la
cuadrícula?
10. ¿Qué sucede con el área del rectángulo ABCD si se cuadruplican los lados de la
cuadrícula?
11. Identifique dos maneras diferentes para calcular el perímetro
del rectángulo ABCD. Explique detalladamente cada una.
12. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo ABCD?
13. Si m AB =l
¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo ABCD?
14. ¿Qué sucede con el perímetro del rectángulo ABCD si se duplican los lados de la
cuadrícula?
15. ¿Qué sucede con el perímetro del rectángulo ABCD si se triplican los lados de la
cuadrícula?
16. ¿Qué sucede con el perímetro del rectángulo ABCD si se cuadruplican los lados de la
cuadrícula?
17. Dibuje en el cuaderno la siguiente tabla y complétela.
| Altura (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Base (m) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 |
| Perímetro (m) | ||||||||
| Área (m2 | ||||||||
| Área/Altura (m) | ||||||||
| Área/Base | ||||||||
| Perímetro/Altura | ||||||||
| Área/Perímetro (m) |
18. Al revisar los datos de área y altura, ¿qué recurrencia
encuentra?
19. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos al calcular
la razón entre el área y la altura?
20. Al revisar los datos de perímetro y altura, ¿qué recurrencia
encuentra?
21. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos al calcular
la razón entre el área y la base ?
22. Al revisar los datos de área y perímetro, ¿qué recurrencia
encuentra?
23. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos al calcular
la razón entre el área y el perímetro ?
24. Dibuje un plano cartesiano en el cuaderno, etiquete el eje
vertical con el perímetro, el horizontal con la altura y ubique
los valores de la tabla anterior. Al finalizar, dibuje otro plano y repita el procedimiento
ubicando en el eje vertical el área y en el horizontal la base, y en otro
plano en el eje vertical el área y en el horizontal la altura.
25. Construya una lista de conclusiones y entre ellas una fórmula
general que le permita calcular el área, el perímetro de cualquier
y el número de valores mínimos que
deben conocerse para que cada ecuación sea viable.
Área de un triángulo
Actividad N°4
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. ¿Cuál es el nombre del polígono ABCD que está representado
en la imagen anterior? Argumente su respuesta.
2. ¿Cuál es el nombre de las figuras que están sombreadas de color
azul y púrpura? Argumente su respuesta.
3. Ingrese a Geogebra, construya
una figura como la ilustrada en la imagen anterior, calcule el área
de cada región sombreada de color azul y púrpura, modifique la dimensiones
del polígono ABCD, revise los resultados y concluya.
4. ¿Qué se puede concluir de las figuras que están sombreadas de color
azul y púrpura al modificar las dimensiones del polígono ABCD?
5. ¿Es posible afirmar que la región azul o la de color púrpura representan un medio del polígono ABCD? Argumente su respuesta.
6. ¿Es posible afirmar que cada región sombreada es 1/2 de un cuadrado?
7. Si el polígono ABCD tiene un área de 50m2, ¿cuánto mide
el área del polígono ABC?
8. Si el área del polígono ADC es 15m2, ¿cuánto mide
el área del polígono ABC?
9. Si m AB =l,
¿Cual sería el área del polígono ADC?
10. Si m AB =l,
¿Cual sería el área del polígono ABC?
11. Considerando los resultados obtenidos hasta este
momento, analice la siguiente figura y calcule el área
de la región púrpura si m AB =b y
m CB =a.
12. Escriba una lista de conclusiones que incluya una fórmula para calcular el área de un triángulo y el número de valores mínimos que deben conocerse para que esta sea viable.
Área de un paralelogramo
Actividad N°5
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. Observe la figura anterior y encuentre dos maneras diferentes de
calcular el área del paralelogramo y argumente detalladamente la respuesta.
Si las encuentra queda exonerad@ del resto de puntos de la actividad.
2. Dibuje la figura anterior en el cuaderno o en una hoja cuadriculada y
construya un rectángulo que contenga al paralelogramo y comparta dos
de sus vertices opuestos.
3. Calcule el área del paralelogramo considerando las dimensiones de la
cuadrícula.
4. Calcule el área de los dos triángulos que comparten la altura
del rectángulo y sumélas.
5. Reste el área del rectángulo con la suma de las áreas de los dos triángulos
y sombree en la figura la superficie correspondiente.
6. Escriba un procedimiento para
calcular el área de un paralelogramo.
7. Escriba una fórmula para calcular el área del paralelogramo.
8. Dibuje nuevamente la figura dada en la actividad y sobre ella
dibuje el mínimo de figuras planas que están contenidas.
9. Calcule el área de cada una de las figuras planas y sumélas.
10. ¿Cuál es el área que representa el valor encontrado en el punto anterior,?
11. Escriba una fórmula que sirva para calcular el área de un paralelogramo y
defina el número mínimo de valores que deben conocerse para que sea viable.
12. Calcule el área de un paralelogramo que tiene una base de 10.13m y una altura de 4.32m.
13. Calcule el área de cada uno de los triángulos si el área del polígono ABDE es 36m2
y el área del rectángulo FBCE es 24m2
14. Mangüirry afirma que si traza la diagonal BD es posible determinar el área del paralelogramo como la suma de las áreas de dos triángulos congruentes. ¿Qué puede decir de la afirmación de Mangüirry? Explique detalladamente su respuesta.
15. Mangüirry afirma que el área del triángulo ECD es 1/4 del área del paralelogramo ABDE. ¿Qué puede decir de la afirmación de Mangüirry? Explique detalladamente su respuesta.
16. Escriba una lista de conclusiones que incluya una fórmula para calcular el área de un paralelogramo y el número de valores mínimos que deben conocerse para que esta sea viable.
Área de un trapecio isósceles
Actividad N°6
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. ¿Cuál es el área del polígono ADEF?
2. Construye una fórmula para calcular el área del polígono ADEF
3. Compara el resultado obtenido en el punto anterior con la fórmula
establecida en los libros para calcular el área de un trapecio isósceles.
Describe los hallazgos detalladamente.
4. Calcula el área de un trapecio Isósceles donde
m AD =11m,
m FE =5m y
m FB =4m.
5. Calcula el área de un trapecio Isósceles donde
m AD =8m,
m FE =6m y
m FB =3m.
6. Calcula el área de un trapecio Isósceles donde
m AD =9m,
m FE =3m y
m FB =4m.
7. Calcula el área de un trapecio Isósceles donde
m AD =B,
m FE =b y
m FB =a
8. Escriba una lista de conclusiones que incluya una fórmula
para calcular el área de un trapecio isósceles y el número de valores mínimos que
deben conocerse para que esta sea viable.
Área de un rombo
Actividad N°7
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. ¿Cuál es el área del polígono ABCD?
2. Construye una fórmula para calcular el área del polígono ABCD
3. Compara el resultado obtenido en el punto anterior con la fórmula
establecida en los libros para calcular el área de un rombo.
Describe los hallazgos detalladamente.
4. Calcula el área de un rombo donde
m DB =8m y
m AC =15m
5. Calcula el área de un rombo donde
m DB =10m y
m AC =24m
6. Calcula el área de un rombo donde
m DB =11m y
m AC =12m
7. Calcula el área de un rombo donde la diagonal menor mide 7m y la diagonal mayor 13m.
8. Calcula el área de un rombo donde la diagonal menor mide 12m y la diagonal mayor 29m.
9. Escriba una lista de conclusiones que incluya una fórmula
para calcular el área de un trapecio isósceles y el número de valores mínimos que
deben conocerse para que esta sea viable.
Teorema de Pitágoras
Actividad N°8
Considere que la siguiente cuadrícula está compuesta
por cuadrados de 1m2
1. ¿Cuál es el área del polígono EBAD?
2. ¿Cuál es el área del polígono FGCD?
3. ¿Cuál es el área del polígono ACHI?
4. Sume el área del polígono EBAD con el área del polígono FGCD, y compare
el resultado con el área del polígono ACHI. Describa detalladamente los hallazgos.
5. Ingrese a Geogebra y con la ayuda
del maestro construya la figura ilustrada en la imagen anterior, calcule el área
de cada polígono regular que comparte uno de sus lados con el triángulo rectángulo, y compare
la suma de las áreas menores con el área mayor. Describa los hallazgos detalladamente.
6. Ubique el cursor sobre cada uno de los polígonos regulares, haga doble click y modifique
el número de lados a 3, 5, 6, 7 y repita el procedimiento del punto anterior.
7. Construya una fórmula que sintetice los hallazgos encontrados
entre la suma de las áreas menores y el área mayor.
8. Si el área del polígono EBAD es 16m2 y el área de FGCB es 9m2,
¿Cuánto mide el área de CHIA?, ¿Cuánto mide
EB ?,
¿Cuánto mide AC ?,
¿Cuánto mide BC ?,
Si el triángulo ABC es rectángulo, ¿cuánto mide la hipotenusa y cada uno de los catetos?
9. Si el área del polígono EBAD es 169m2 y el area de FGCB es 25m2,
¿Cuánto mide el área de CHIA?, ¿Cuánto mide
EB ?,
¿Cuánto mide AC ?,
¿Cuánto mide BC ?,
Si el triángulo ABC es rectángulo, ¿cuánto mide la hipotenusa y cada uno de los catetos?
10. Escriba una fórmula que sirva para calcular la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo y compárala
con la establecida en los libros de matemáticas.
Actividad N°9
Practica lo aprendido y calcule el área de algunas figuras planas